Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq a^3 + b^3 + c^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Lamat

Lamat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
1. Cho $a, b, c > 0$. CM:

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq a^3 + b^3 + c^3$

2. Cho $a, b, c > 0$. CM:

$\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 + \left(\frac{a + c}{a - c}\right)^2 + \left(\frac{b + c}{b - c}\right)^2 \geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lamat: 27-06-2012 - 17:25


#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

1. Cho $a, b, c > 0$. CM:

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq a^3 + b^3 + c^3$


Am-GM: $\frac{a^{5}}{b^{2}}+ab^{2}\geq 2a^{3}$
TT có 2 cái nua rồi cộng lại .
$\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{b^{2}}+\sum ab^{2}\geq 2a^{3}$
Am-Gm tiếp : $\sum (a^{3}+ b^{3}+b^{3})\geq 3\sum ab^{2}\Rightarrow \sum a^{3}\geq \sum ab^{2}$
$\Rightarrow$ Đ.P.C.M

#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Bài 2:
Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x,\frac{b+c}{b-c}=y,\frac{a+c}{a-c}=z$
Thì $\frac{8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$
$\to xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1$
$\to xy+yz+zx=-2$
Mà mặt khác $(x+y+z)^2\geq 0$
Nên $x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+xz)=2$
Vậy $\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 + \left(\frac{a + c}{a - c}\right)^2 + \left(\frac{b + c}{b - c}\right)^2 \geq 2$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh