Chủ đề này có 2 trả lời

[Gioi han]

Giải hpt:
\[\left\{\begin{array}{l} {x^2}+2xy+y=0\\ {x^3}+3xy+2\sqrt {y+1} \left( {x+\sqrt {{x^2}y + 2} } \right) = 4 \end{array}\right.\]

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải hệ phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l} {x^2}+2xy+y=0\\ {x^3}+3xy+2\sqrt {y+1} \left( {x+\sqrt {{x^2}y + 2} } \right) = 4 \end{array}\right.\]

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}y + 1 \geq 0\\xy^2 + 2 \geq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y \geq -1\\xy^2 + 2 \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$x(x^2 + y) + 2xy + 2\sqrt{(y + 1)}( x+\sqrt {x^2y + 2}) = 4$

$\Rightarrow x.(-2xy) - (x^2 + y) + 2\sqrt{(y + 1)}( x+\sqrt {x^2y + 2}) - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2y+ x^2 + y - 2.x.\sqrt{y + 1} - 2\sqrt{(y + 1)(x^2y +2)} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow [x^2(y + 1) - 2.x.\sqrt{y + 1} + 1] + [x^2y + 2 - 2\sqrt{(y + 1)(x^2y +2)} + y + 1] = 0$

$\Leftrightarrow (x\sqrt{y + 1} - 1)^2 + (\sqrt{x^2y + 2} - \sqrt{y + 1})^2 = 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{y + 1} - 1 = 0\\\sqrt{x^2y + 2} - \sqrt{y + 1} = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{y + 1} = 1\\\sqrt{x^2y + 2} = \sqrt{y + 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 0\\x^2(y + 1) = 1 \,\, (1)\\x^2y - y = -1 \,\, (2)\end{array}\right.$

Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta được:
$x^2 + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x^2 \leq 2$

Thế $y = 2 - x^2$ vào (1), ta có phương trình:
$x^2(3 - x^2) = 1 \Leftrightarrow x^4 - 3x^2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}\\x = \pm \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$

Do $x \geq 0$ nên: $\left[\begin{array}{l} x = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}\\x = \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$

- Với $x = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}} \Rightarrow y = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} < 2$
- Với $x = \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} \Rightarrow y = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} < 2$

Thử lại 2 cặp giá trị nói trên, ta chọn cặp $(x; y) = (\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}; \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})$

[T M]

Giải hpt:
\[\left\{\begin{array}{l} {x^2}+2xy+y=0\\ {x^3}+3xy+2\sqrt {y+1} \left( {x+\sqrt {{x^2}y + 2} } \right) = 4 \end{array}\right.\]

$\fbox{Hướng giải}$

$(1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3=-2x^2y-xy & & \\2xy=-x^2-y^2 & & \end{matrix}\right.$

Thế

$$(2)\Rightarrow -x^2-y-2x^2y+2\sqrt{y+1}\left ( x+\sqrt{x^2y+2} \right )=4\\
\Leftrightarrow x^2+y+2x^2y-2\sqrt{y+1}.x-2\sqrt{y+1}.\sqrt{x^2y+2}+4=0\\ \Leftrightarrow \left ( \sqrt{y+1}-\sqrt{x^2y+2} \right )^2+\left ( x.\sqrt{y+1}-1 \right )^2=0$$

Phần còn lại là của bạn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 28-06-2012 - 13:19