Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-06-2012 - 10:09

VERIA, GREECE

Wednesday, 27 June 2012

Each problem is worth 10 points.

Time allocation: 6 hours 30 minutes


$\fbox{1}$ Let $a$, $b$, and $c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.

Prove that \[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)\]
When does the equality occur?

$\fbox{2}$

Circles $k_1$ and $k_2$ intersect each other at two distinct points $A$ and $B$. Line $l$ is the external common tangent line of circles $k_1$ and $k_2$. It is tangent to circles $k_1$ and $k_2$ at points $M$ and $N$, respectively. If line $l$ is perpendicular to line $AM$ and $MN = 2AM$, find the measure of $\angle NMB$.

$\fbox{3}$

On a board there are $n$ nails. Every two of them is connected by a rope. Every rope is coloured with one of $n$ different colours. For every three different colours, there exists three nails which are connected by ropes coloured with those three colours. Is it possible that $n$ is equal to:
a) $6$?
b) $7$?
Explain.

$\fbox{4}$

Find all positive integers $x$, $y$, $z$, and $t$ which satisfy $2^x 3^y + 5^z = 7^t$.

-----

$\fbox{1}$ Với $a$, $b$, $c$ là các số thực dương, thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

$\fbox{2}$

Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ giao nhau tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ là tiếp tuyến chung ngoài của $k_1$ và $k_2$. $l$ tiếp xúc $k_1$ và $k_2$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm số đo góc $NMB$ nếu $l$ vuông góc với $AM$ và $MN = 2AM$.

$\fbox{3}$

Có $n$ chiếc móng được đặt lên một tấm bảng. Hai móng bất kì được nối với nhau bằng một sợi dây. Mỗi sợi dây được kí hiệu bằng một trong $n$ màu phân biệt. Cứ mỗi 3 màu khác nhau sẽ có 3 móng được nối với nhau bằng những sợi dây kí hiệu bằng 3 màu ấy. Hỏi $n$ có thể bằng:
a) $6$
b) $7$
không?
Tại sao ?

$\fbox{4}$

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $2^x 3^y + 5^z = 7^t$

(Dịch bởi bbvipbb)



#2 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 28-06-2012 - 15:29

đặt x=(b+c)/a,y=(a+c)/b,z=(a+b)/c suy ra bất đẳng thức đã cho có dạng x+y+z $\geq$ 2$\sqrt{2x}$+2$\sqrt{2y}$+2$\sqrt{2z}$ luôn đúng vì theo Cauchy cho 2 số dương ta có x+2$\geq$2$\sqrt{2x}$ và tương tự các bất đẳng thức còn laị

#3 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 30-06-2012 - 11:25

$\fbox{2}$

Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ giao nhau tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ là tiếp tuyến chung ngoài của $k_1$ và $k_2$. $l$ tiếp xúc $k_1$ và $k_2$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm số đo góc $NMB$ nếu $l$ vuông góc với $AM$ và $MN = 2AM$.


Ai vẽ hộ hình bài này với! Sao mình không vẽ vuông góc được nhỉ :(
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#4 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 30-06-2012 - 12:05

Bài 1:
Không cần đặt ẩn phụ:do a+b+c=1 mà a,b,c>0 nên a,b,c<1.Vậy 1-a,1-b,1-c>0
Áp dụng Bất đẳng thức Co6si cho 2 số >0, ta có
$2\sqrt{2\frac{1-a}{a}}\leq 2+\frac{1-a}{a}=\frac{a+1}{a}=\frac{2a+b+c}{a}=2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$(a+b+c=1)
CMTT: $2\sqrt{2\frac{1-b}{b}}\leq 2+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}$
$2\sqrt{2\frac{1-c}{c}}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
Cộng vế theo vế,ta có đpcm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#5 thienhg

thienhg

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 01-01-2013 - 10:25

Bài 2 vẽ được hình mà. 45 độ nhé

#6 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 01-01-2013 - 11:45

Câu 4 đã được giải tại
http://diendantoanho...79881-2x3y5z7t/
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#7 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 01-01-2013 - 15:32

Và đây là đáp án của cuộc thi (bản tiếng Anh)

File gửi kèm



#8 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 01-01-2013 - 22:02

Và đây là đáp án của cuộc thi (bản tiếng Anh)

có bản tiếng việt không , tiếng anh đọc chẳng hiểu gì
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh