Đến nội dung

Hình ảnh

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

VERIA, GREECE

Wednesday, 27 June 2012

Each problem is worth 10 points.

Time allocation: 6 hours 30 minutes


$\fbox{1}$ Let $a$, $b$, and $c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.

Prove that \[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)\]
When does the equality occur?

$\fbox{2}$

Circles $k_1$ and $k_2$ intersect each other at two distinct points $A$ and $B$. Line $l$ is the external common tangent line of circles $k_1$ and $k_2$. It is tangent to circles $k_1$ and $k_2$ at points $M$ and $N$, respectively. If line $l$ is perpendicular to line $AM$ and $MN = 2AM$, find the measure of $\angle NMB$.

$\fbox{3}$

On a board there are $n$ nails. Every two of them is connected by a rope. Every rope is coloured with one of $n$ different colours. For every three different colours, there exists three nails which are connected by ropes coloured with those three colours. Is it possible that $n$ is equal to:
a) $6$?
b) $7$?
Explain.

$\fbox{4}$

Find all positive integers $x$, $y$, $z$, and $t$ which satisfy $2^x 3^y + 5^z = 7^t$.

-----

$\fbox{1}$ Với $a$, $b$, $c$ là các số thực dương, thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

$\fbox{2}$

Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ giao nhau tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ là tiếp tuyến chung ngoài của $k_1$ và $k_2$. $l$ tiếp xúc $k_1$ và $k_2$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm số đo góc $NMB$ nếu $l$ vuông góc với $AM$ và $MN = 2AM$.

$\fbox{3}$

Có $n$ chiếc móng được đặt lên một tấm bảng. Hai móng bất kì được nối với nhau bằng một sợi dây. Mỗi sợi dây được kí hiệu bằng một trong $n$ màu phân biệt. Cứ mỗi 3 màu khác nhau sẽ có 3 móng được nối với nhau bằng những sợi dây kí hiệu bằng 3 màu ấy. Hỏi $n$ có thể bằng:
a) $6$
b) $7$
không?
Tại sao ?

$\fbox{4}$

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $2^x 3^y + 5^z = 7^t$

(Dịch bởi bbvipbb)



#2
trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
đặt x=(b+c)/a,y=(a+c)/b,z=(a+b)/c suy ra bất đẳng thức đã cho có dạng x+y+z $\geq$ 2$\sqrt{2x}$+2$\sqrt{2y}$+2$\sqrt{2z}$ luôn đúng vì theo Cauchy cho 2 số dương ta có x+2$\geq$2$\sqrt{2x}$ và tương tự các bất đẳng thức còn laị

#3
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

$\fbox{2}$

Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ giao nhau tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ là tiếp tuyến chung ngoài của $k_1$ và $k_2$. $l$ tiếp xúc $k_1$ và $k_2$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm số đo góc $NMB$ nếu $l$ vuông góc với $AM$ và $MN = 2AM$.


Ai vẽ hộ hình bài này với! Sao mình không vẽ vuông góc được nhỉ :(
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#4
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
Bài 1:
Không cần đặt ẩn phụ:do a+b+c=1 mà a,b,c>0 nên a,b,c<1.Vậy 1-a,1-b,1-c>0
Áp dụng Bất đẳng thức Co6si cho 2 số >0, ta có
$2\sqrt{2\frac{1-a}{a}}\leq 2+\frac{1-a}{a}=\frac{a+1}{a}=\frac{2a+b+c}{a}=2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$(a+b+c=1)
CMTT: $2\sqrt{2\frac{1-b}{b}}\leq 2+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}$
$2\sqrt{2\frac{1-c}{c}}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
Cộng vế theo vế,ta có đpcm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#5
thienhg

thienhg

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Bài 2 vẽ được hình mà. 45 độ nhé

#6
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Câu 4 đã được giải tại
http://diendantoanho...79881-2x3y5z7t/
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#7
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
Và đây là đáp án của cuộc thi (bản tiếng Anh)

File gửi kèm



#8
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Và đây là đáp án của cuộc thi (bản tiếng Anh)

có bản tiếng việt không , tiếng anh đọc chẳng hiểu gì
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh