VERIA, GREECE
Wednesday, 27 June 2012
Each problem is worth 10 points.
Time allocation: 6 hours 30 minutes
$\fbox{1}$ Let $a$, $b$, and $c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.
Prove that \[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)\]When does the equality occur?
$\fbox{2}$
Circles $k_1$ and $k_2$ intersect each other at two distinct points $A$ and $B$. Line $l$ is the external common tangent line of circles $k_1$ and $k_2$. It is tangent to circles $k_1$ and $k_2$ at points $M$ and $N$, respectively. If line $l$ is perpendicular to line $AM$ and $MN = 2AM$, find the measure of $\angle NMB$.$\fbox{3}$
On a board there are $n$ nails. Every two of them is connected by a rope. Every rope is coloured with one of $n$ different colours. For every three different colours, there exists three nails which are connected by ropes coloured with those three colours. Is it possible that $n$ is equal to:a) $6$?
b) $7$?
Explain.
$\fbox{4}$
Find all positive integers $x$, $y$, $z$, and $t$ which satisfy $2^x 3^y + 5^z = 7^t$.-----
$\fbox{1}$ Với $a$, $b$, $c$ là các số thực dương, thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{c}{a} +\frac{a}{c} + 6 \geq 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{ \frac{1-a}{a} }+ \sqrt{ \frac{1-b}{b} } + \sqrt{ \frac{1-c}{c} } \right)$$Đẳng thức xảy ra khi nào?
$\fbox{2}$
Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ giao nhau tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ là tiếp tuyến chung ngoài của $k_1$ và $k_2$. $l$ tiếp xúc $k_1$ và $k_2$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm số đo góc $NMB$ nếu $l$ vuông góc với $AM$ và $MN = 2AM$.$\fbox{3}$
Có $n$ chiếc móng được đặt lên một tấm bảng. Hai móng bất kì được nối với nhau bằng một sợi dây. Mỗi sợi dây được kí hiệu bằng một trong $n$ màu phân biệt. Cứ mỗi 3 màu khác nhau sẽ có 3 móng được nối với nhau bằng những sợi dây kí hiệu bằng 3 màu ấy. Hỏi $n$ có thể bằng:a) $6$
b) $7$
không?
Tại sao ?
$\fbox{4}$
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $2^x 3^y + 5^z = 7^t$(Dịch bởi bbvipbb)