Đến nội dung

Hình ảnh

$4$ biến : $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 =1 $

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Chứng minh rằng nếu $4$ số thực $ a ; b ; c ; d $ thoả mãn :

$ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1$ ; thì ta luôn có :

$ \sqrt{1+a} + \sqrt{1+c} + \sqrt{ 1 + ac - bd} \ge \sqrt{2}$


Bài này tặng riêng cho Hoàng - Lâm- Vương và Việt :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 30-06-2012 - 08:39

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#2
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
@@@: cảm ơn anh PSW cùng tất cả các bạn VMF. K_1994_VMF nhất định sẽ cố gắng hết mình cho kì thi sắp tới này.

Nhân đây chúc anh em 1994 chúng ta lên đường mạnh khỏe, luôn bình tình suy nghĩ để xử lí mọi tình huống. ( còn về kiến thức thì mình tin ở các bạn ).

NGẨNG CAO ĐẦU VỮNG BƯỚC ĐẠP GIAN NAN.


@@@ anh PSW: híc, nói thật với anh là giờ em nhìn thấy BĐT ntn nào ấy, :(( không còn chút ý tưởng nào nữa rồi :((

Xuất quân!

rongden_167


#3
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Giải bài này; biết đâu ngày mai con dân VMF lại trúng tủ ;) :

Lời giải : Ta xét các số phức sau : $ w= a + ib \ ; \ z = c+ id$

Rõ ràng ; từ giả thiết bài toán ; ta có : $ |w| = | z| = 1$

Ngoài ra : $ | 1 + w| = \sqrt{ (1+a)^2 + b^2} = \sqrt{ 1 + (a^2 + b^2) + 2a} = \sqrt{2 (1+a)}$

Chứng minh tương tự : $ | 1 + z| = \sqrt{2 (1+c)}$.

Còn $ | 1 + zw | = \sqrt{ (1+ac-bd)^2 + (ad+cb)^2} = \sqrt{ 1 + 2(ac-bd) + (a^2+b^2)(c^2+d^2)} = \sqrt{2 (1+ac-bd)}$.

Nên dễ thấy là bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$ 2 \le | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw | \ \ (*)$

Để chứng minh $(*)$ ; ta chỉ cần vận dụng đến các đẳng thức-bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến module số phức, thật vậy:

$ 2 = | 1+z - z(1+w) + 1+ zw| \le |1+z| + | z(1+w)| + |1+zw|= |1+z| + | z| \cdot |1+w| + |1+zw| = | 1 + w|+ | 1 + z|+ | 1 + zw | $ ; do $|z| =1$

$ (*)$ đúng ; và bất đẳng thức ban đầu cũng được chứng minh hoàn toàn.

Ta thấy là có xảy ra trường hợp đẳng thức ; chẳng hạn khi $ a=c=-1 ; b=d=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 03-07-2012 - 22:12

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh