Chủ đề này có 27 trả lời

[tkvn97]

Lời nói đầu : Để đáp ứng nhu cầu học tập của của các bạn học sinh lớp 9 ôn thi HSG và ôn thi vào lớp 10 . Đặc biệt kiến thức về " Phương trình bậc hai và hệ thức Viet" là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình học lớp 9 . Vì vậy mình viết chuyên đề " Phương trình bậc hai - Hệ thức Viet " để giúp các bạn có thêm các bài tập và những kĩ năng cần thiết để giải . Đây là chuyên đề đầu tiên mà mình viết nên có những gì sai sót mong được sự giúp đỡ của các bạn để các lần sau mình viết tốt hơn .
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Phương trình bậc hai
1) Định nghĩa : Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$
2) Công thức nghiệm .
Xét phương trình $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$, biệt thức $\Delta =b^{2}-4ac$
+ ) Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm ;
+) Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép .$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$
+) Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}; x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
* Trường hợp $b=2b^{'}$ , ta có thể tính $\Delta ^{'}=b'^{2}-ac$
+) Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1}=x_{2}=\frac{-b'}{a}$
+) Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}$
---> Công thức nghiệm này gọi là công thức nghiệm thu gọn
II. Hệ thức Viet
1. Hệ thức Viêt : Nếu $x_{1};x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+x=0 (a\neq 0)$ thì $x_{1};x_2\left\{\begin{matrix} S = x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} & \\ P = x_{1}.x_{2 = \frac{c}{a}} & \end{matrix}\right.$
2, Ứng dung
B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho phương trình $mx^{2}-(2m+1)x+(m+1)=0$ . (1)
a) Giải phương trình (1) với $m=\frac{-3}{5}$ .
b) Chứng minh rằng phương trình (1)luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2 .

Bài 2. Cho phương trình $(m^{2}-m-2)x^{2}+2(m+1)x+1$ ( m là tham số) . (1)
a) Giải phương trình (10 với m = -1 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (10 có hai nghiệm phân biệt,
c) Tìm các giá trị của m để tập nghuêmj của phương trình (1) chỉ có một phần tử .

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi $a;b$ : $(a+1)x^{2}-2(a+b)x+(b-1)=0$

Bài 4. Cho phương trình $mx^{2}+6(m-2)x+4m-7=0$
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho .
a) Có nghiệm kép
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Vô nghiệm

Bài 5. Cho phương trình $x^{2}-mx+m-1=0$.
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
(b) Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P = $\frac{2x_{1}x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(x_{1}x_{2}+1)}$

Bài 6. Cho phương trình $\frac{2}{2-\sqrt{3}}x^{2}-mx+\frac{2}{2-\sqrt{3}}m^{2}+4m-1 = 0$ (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (10 có nghiệm thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} =x_{1}+x_{2}$

Bài 7. Cho $f(x)=x^{2}-2(m+2)x+6m+1$
a. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm với mọi m .
b. Đặt $x=t+2$ ; tính $f(x)$ theo $t$ . Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình $f(x)=0$ xó hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 8., Cho phương trình $x^{2}-(2m-3)x+m^{2}-3m=0$
a) CHứng minh rằng pt luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn :$1< x_{1}< x_{2}<6$

Bài 9. Tìm các số $a,b$ sao cho phương trình $x^{2}+ax+6=0$ và $x^{2}+bx+12=0$ có ít nhất một nghiệm chung và $\begin{vmatrix} a \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}$ nhỏ nhất .

Bài 10. Giả sử $x_{0}$ là một nghiêm của phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+x=0$ . Đặt $M = max\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{a}{b} \end{vmatrix} ,\begin{vmatrix} \frac{c}{a} \end{vmatrix} \end{Bmatrix}$ . Chứng minh rằng $\begin{vmatrix} x_{0} \end{vmatrix} \leq 1+M$

Bài 11 . Cho phương trình $(x+1)^{4}-(m-1)(x+1)^{2}-m^{2}+m-1$ (1)
a) Giải phương trình với $m=-1$.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ với mọi giá trị của tham số m.
c) Tìm giá trị của m để $\begin{vmatrix} x_{1} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{2} \end{vmatrix} =2$
( Chuyên Hà nội - Amsterdam 1998 - 1999)
Bài 12. Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thõa mãn điều kiện $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq 1$ với mọi $x\in \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ . Tìm GTNN của biểu thức A = $4a^{2}+3b^{2}$

Bài 13. Giả sử phương trình bậc hai : $x^{2}+ax+b+1=0$ có hai nghiệm nguyên dương . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}$ là một hợp số .

Bài 14. Cho phương trình bậc hai : $2x^{2}+(2m-1)x+m-1=0$ .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m .
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm đó .
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thõa mãn $-1< x_{1}< x_{2}<1.$
d) Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ , hãy lập một hệ thức giũa $x_{1}$ và $x_{2}$ không có m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 18-07-2012 - 15:54

[henry0905]

Mình xin mở hàng:
1)a) $\frac{-3}{5}x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(3x+2)=0$
b)TH1:m=0 thì x=1
TH2:$m\neq 0$
$\Delta= (2m+1)^{2}-4m(m+1)=1> 0$
Vậy PT luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$
c) m=0(loại)
Để PT có 2 nghiệm lớn hơn 2 thì
$\left\{\begin{matrix} m\neq 0 & \\ \Delta >0 & \\ x_{1}+x_{2}> 4 & \\ (x_{1}-2)(x_{2}-2)> 0 & \end{matrix}\right.$
với $x_{1}+x_{2}=\frac{2m+1}{m},x_{1}x_{2}=\frac{m+1}{m}$
Thế vào ta tìm được khoảng m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 02-07-2012 - 16:02

[triethuynhmath]

Bài 3:
$a=-1$,ta có 2(b-1)x=b-1
$b=1$,pt vô số nghiệm
$b\neq 1$,pt có nghiệm $x=\frac{1}{2}$
Vậy pt luôn có nghiệm với a=-1.
$a\neq -1$
Ta có: delta phẩy =$(a+b)^2-(a+1)(b-1)$=$a^2+b^2+a-b+1+ab$=$\frac{1}{2}((a+b)^2+(a+1)^2+(b-1)^2)\geq 0$
Ta đã có đpcm

[triethuynhmath]

Bài 5:
a) a+b+c=1-m+m-1=0 nên pt có 2 nghiệm x=1 hay x=m-1
Không mất tính tổng quát,giải sử $x_{1}=1,x_{2}=m-1$
Ta có P=$\frac{2x_{1}x_{2}+3}{(x_{1}+x_{2})^2+2}$
=$\frac{2(m-1)+3}{m^2+2}$
$=\frac{2m+1}{m^2+2}$$=1-\frac{(m-1)^2}{m^2+2}\leq 1$.Dấu = xảy ra khi m=1
Và P=$\frac{4m+2}{2(m^2+2)}=\frac{-(m^2+2)+(m+2)&2}{2(m^2+2)}=\frac{-1}{2}+\frac{(m+2)^2}{2(m^2+2)}\geq \frac{-1}{2}$.Dấu = xảy ra khi m=-2

[henry0905]

a) Thế m=-1 tính bình thường
b) Tìm m để $\Delta \geq 0$
Ta có: $x_{1}x_{2}=\frac{\frac{2}{2-\sqrt{3}}m^{2}+4m-1}{\frac{2}{2-\sqrt{3}}},x_{1}+x_{2}=\frac{m}{\frac{2}{2-\sqrt{3}}}$
Xét x=0
Xét x khác 0
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=x_{1}+x_{2}\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(1-x_{1}x_{2})=0$
Thế vào ta tìm được m
Vì các con số khá phức tạp nên mình không giải cụ thể, thông cảm!!

[battlebrawler]

Bài 2. Cho phương trình $(m^{2}-m-2)x^{2}+2(m+1)x+1$ ( m là tham số) . (1)
a) Giải phương trình (10 với m = -1 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (10 có hai nghiệm phân biệt,
c) Tìm các giá trị của m để tập nghuêmj của phương trình (1) chỉ có một phần tử .

a) Thế m = -1 vô => $x\in \phi$ vì $1\neq 0$
b) $\Delta '=(m+1)^{2}-(m^{2}-m-2)>0$
<=> $m^{2}+1+2m-m^{2}+m+2>0$
<=> $m>-1$
c) Tập nghiệm có 1 phần tử có phải là phương trình có nghiệm kép không ạ?

[tkvn97]

a) Thế m = -1 vô => $x\in \phi$ vì $1\neq 0$
b) $\Delta '=(m+1)^{2}-(m^{2}-m-2)>0$
<=> $m^{2}+1+2m-m^{2}+m+2>0$
<=> $m>-1$
c) Tập nghiệm có 1 phần tử có phải là phương trình có nghiệm kép không ạ?

Chưa hẳn đau em : pt bậc nhất một ẩn củng có một nghiệm đáy sao ??

[battlebrawler]

Bài 7. Cho $f(x)=x^{2}-2(m+2)x+6m+1$
a. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm với mọi m .
b. Đặt $x=t+2$ ; tính $f(x)$ theo $t$ . Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình $f(x)=0$ xó hai nghiệm lớn hơn 2.

a) $a=1; b=-2(m+2); c=6m+1$
$\Delta '=[-(m+2)]^{2}-6m-1=...=(m-1)^{2}+2>0$
b) Thay $x=t+2$ vô f(x)
$f(x)=(t+2)^{2}-2(m+2)(t+2)+6m+1=...=t^{2}-2m.t+2m-3$
$f(x)=t^{2}-2m.t+2m-3=0$ $(a=1; b=-2m; c=2m-3)$
Như henry0905 đã giải ở trên
$\left\{\begin{matrix} \Delta '>0\\ m\neq 0\\ x_{1}+x_{2}>4\\ x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4>0\\ \end{matrix}\right.$
Thế vô xác định m... "bụp bụp" mấy cái là ra

[battlebrawler]

Bài 4. Cho phương trình $mx^{2}+6(m-2)x+4m-7=0$
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho .
a) Có nghiệm kép
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Vô nghiệm

Xét $\Delta '=b'^{2}-ac=[3(m-2)]^{2}-m(4m-7)=...=5m^{2}-29m+36$
a) Có nghiệm kép khi $\Delta '=5m^{2}-29m+36=0$
Giải pt bậc 2: m=4 hoặc m=1.8
b) Có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta '=5m^{2}-29m+36>0$
<=> $m^{2}-\frac{29}{5}m+\frac{36}{5}>0$
<=> $m^{2}-2.m.\frac{29}{10}+\left ( \frac{29}{10}\right )^{2}-\left ( \frac{29}{10}\right )^{2}+\left ( \frac{36}{5} \right )^{2}>0$
<=> $\left ( m-\frac{29}{10} \right )^{2}>\left (\frac{11}{10} \right )^{2}$
<=> $m-\frac{29}{10}>\frac{11}{10}$ hoặc $m-\frac{29}{10}<-\frac{11}{10}$
<=> $m>4$ hoặc $m<1.8$
c) Vô nghiệm khi $\Delta '=5m^{2}-29m+36<0$
<=> $\left ( m-\frac{29}{10} \right )^{2}<\left (\frac{11}{10} \right )^{2}$
<=> $1.8<m<4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi battlebrawler: 18-07-2012 - 16:50

[tran thanh binh dv class]

Bài 13. Giả sử phương trình bậc hai : $x^{2}+ax+b+1=0$ có hai nghiệm nguyên dương . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}$ là một hợp số .

theo vi-et ta có
$x_{1}+x_{2}=-a \Rightarrow a^2=x_{1}^2+x_{2}^2+2x_{1}x_{2}$
$x_{1}x_{2}=b+1\Rightarrow b^2=x_{1}^2x_{2}^2-2x_{1}x_{2}+1$
$\Rightarrow a^2+b^2=(x^2+1)(x_{2}^2+1)$
Mà $x_{1};x_{2}\epsilon Z^+$ và $ x_{1}+1> 1;x_{2}+1>1$
Nên $a^2+b^2$ là hợp số

[MitHam]

Bài 12. Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thõa mãn điều kiện $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq 1$ với mọi $x\in \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ . Tìm GTNN của biểu thức A = $4a^{2}+3b^{2}$

Mìh làm thế này ko biết có đúng ko nữa
Từ gt ta có đc $\inline f(0)=c,f(1)=a+b+f(0),f(-1)=a-b+f(0)$
$\Rightarrow a=\frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2}; b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$
Đặt f(1)=m, f(-1)=n, f(0)=k ( $\left | m \right |;\left | n \right |;\left | k \right |\leqslant 1$)
$\Rightarrow$ $4a^{2}=4.\left [ \frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2} \right ]^{2}$
$3b^{2}=3.\left [ \frac{f(1)-f(-1)}{2} \right ]^{2}=3.\left ( \frac{m-n}{2} \right )^{2}$
Khi đó $4a^{2}+3b^{2}=\frac{7m^{2}+7n^{2}+16k^{2}+2mn-16nk-16mk}{4}\leq$$\frac{\left | 7m^{2} \right |+\left | 7n^{2} \right |+\left | 16k^{2} \right |+\left | 2mn \right |-\left | 16nk \right |-\left | 16mk \right |}{4}\leq \frac{64}{4}=16$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | m \right |=1 & & \\ \left | n \right |=1 & & \\ \left | k \right |=1 & & \\ mn=1 & & \\ nk=01 & & \\ mk=-1 & & \end{matrix}\right.$
Chọn \left\{\begin{matrix} m=n=1 & & \\ k=-1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=0 & & \\ c=-1 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MitHam: 12-08-2012 - 17:53

[9ainmyheart]

Mình xin mở hàng:
1)a) $\frac{-3}{5}x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(3x+2)=0$
b)TH1:m=0 thì x=1
TH2:$m\neq 0$
$\Delta= (2m+1)^{2}-4m(m+1)=1> 0$
Vậy PT luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$
c) m=0(loại)
Để PT có 2 nghiệm lớn hơn 2 thì
$\left\{\begin{matrix} m\neq 0 & \\ \Delta >0 & \\ x_{1}+x_{2}> 4 & \\ (x_{1}-2)(x_{2}-2)> 0 & \end{matrix}\right.$
với $x_{1}+x_{2}=\frac{2m+1}{m},x_{1}x_{2}=\frac{m+1}{m}$
Thế vào ta tìm được khoảng m

theo mình nếu đề bài yêu cầu có 2 nghiệm lớn hơn 2 thì còn xảy ra trường hợp $\bigtriangleup =$0 nữa chứ

[anh1999]

a) Thế m = -1 vô => $x\in \phi$ vì $1\neq 0$
b) $\Delta '=(m+1)^{2}-(m^{2}-m-2)>0$
<=> $m^{2}+1+2m-m^{2}+m+2>0$
<=> $m>-1$
c) Tập nghiệm có 1 phần tử có phải là phương trình có nghiệm kép không ạ 

theo bài này có vẻ là như vậy

[anh1999]

thêm bài nữa nè : cho pt $x^{2}-2x-2m\left | x-1 \right |+m^{2}+2$ tìm m để pt vn 

[Ngoc Hung]

Đặt $\left | x-1 \right |=y\geq 0$. Ta có pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$. Để pt vô nghiệm thì pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$ có các nghiệm đều âm. Giả sử $y_{2}\leq y_{1}<0$ ...

[toanc2tb]

Bài 12. Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thõa mãn điều kiện $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq 1$ với mọi $x\in \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ . Tìm GTNN của biểu thức A = $4a^{2}+3b^{2}$

Mìh làm thế này ko biết có đúng ko nữa
Từ gt ta có đc $\inline f(0)=c,f(1)=a+b+f(0),f(-1)=a-b+f(0)$
$\Rightarrow a=\frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2}; b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$
Đặt f(1)=m, f(-1)=n, f(0)=k ( $\left | m \right |;\left | n \right |;\left | k \right |\leqslant 1$)
$\Rightarrow$ $4a^{2}=4.\left [ \frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2} \right ]^{2}$
$3b^{2}=3.\left [ \frac{f(1)-f(-1)}{2} \right ]^{2}=3.\left ( \frac{m-n}{2} \right )^{2}$
Khi đó $4a^{2}+3b^{2}=\frac{7m^{2}+7n^{2}+16k^{2}+2mn-16nk-16mk}{4}\leq$$\frac{\left | 7m^{2} \right |+\left | 7n^{2} \right |+\left | 16k^{2} \right |+\left | 2mn \right |-\left | 16nk \right |-\left | 16mk \right |}{4}\leq \frac{64}{4}=16$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | m \right |=1 & & \\ \left | n \right |=1 & & \\ \left | k \right |=1 & & \\ mn=1 & & \\ nk=01 & & \\ mk=-1 & & \end{matrix}\right.$
Chọn \left\{\begin{matrix} m=n=1 & & \\ k=-1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=0 & & \\ c=-1 & & \end{matrix}\right.$

Chỉnh $\LaTeX$ lại đi bạn, sai nhiều quá!

[anh1999]

Đặt $\left | x-1 \right |=y\geq 0$. Ta có pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$. Để pt vô nghiệm thì pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$ có các nghiệm đều âm. Giả sử $y_{2}\leq y_{1}<0$ ...

thiếu TH vô nghệm nữa

[anh1999]

Đặt $\left | x-1 \right |=y\geq 0$. Ta có pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$. Để pt vô nghiệm thì pt $y^{2}-2my+m^{2}+1=0$ có các nghiệm đều âm. Giả sử $y_{2}\leq y_{1}<0$ ...

mình làm thế có pít đúng ko nữa

 để pt$y^{2}-2my+m^{2}+1=0$ (1)

xét $\Delta$ =................ 

TH1 PT ban đầu VN<=> (1) VN

TH2 PT ban đầu VN<=> (1) co nghiệm đều âm 

=>$\begin{cases} & \text m^{2}+1>0\\ & \text 2m<0 \end{cases}$

[KhoiPearce]

Có bác nào giúp giải bài toán này với:

 Cho

 x² + 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.

[BysLyl]

Có bác nào giúp giải bài toán này với:

 Cho

 x² + 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.

$\Delta '=(m-1)^{2}-(-m-1)=m^{2}-m+2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=m-1+\sqrt{m^{2}-m+2}> 1\\ x_{2}=m-1-\sqrt{m^{2}-m+2}< 1 \end{matrix}\right.$

tới đây biến đổi tương đương là ra

P/s: nhớ xét điều kiện delta trước nhé!