A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Phương trình bậc hai
1) Định nghĩa : Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$
2) Công thức nghiệm .
Xét phương trình $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$, biệt thức $\Delta =b^{2}-4ac$
+ ) Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm ;
+) Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép .$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$
+) Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}; x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
* Trường hợp $b=2b^{'}$ , ta có thể tính $\Delta ^{'}=b'^{2}-ac$
+) Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1}=x_{2}=\frac{-b'}{a}$
+) Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}$
---> Công thức nghiệm này gọi là công thức nghiệm thu gọn
II. Hệ thức Viet
1. Hệ thức Viêt : Nếu $x_{1};x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+x=0 (a\neq 0)$ thì $x_{1};x_2\left\{\begin{matrix} S = x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} & \\ P = x_{1}.x_{2 = \frac{c}{a}} & \end{matrix}\right.$
2, Ứng dung
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho phương trình $mx^{2}-(2m+1)x+(m+1)=0$ . (1)
a) Giải phương trình (1) với $m=\frac{-3}{5}$ .
b) Chứng minh rằng phương trình (1)luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2 .
Bài 2. Cho phương trình $(m^{2}-m-2)x^{2}+2(m+1)x+1$ ( m là tham số) . (1)
a) Giải phương trình (10 với m = -1 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (10 có hai nghiệm phân biệt,
c) Tìm các giá trị của m để tập nghuêmj của phương trình (1) chỉ có một phần tử .
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi $a;b$ : $(a+1)x^{2}-2(a+b)x+(b-1)=0$
Bài 4. Cho phương trình $mx^{2}+6(m-2)x+4m-7=0$
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho .
a) Có nghiệm kép
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Vô nghiệm
Bài 5. Cho phương trình $x^{2}-mx+m-1=0$.
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
(b) Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P = $\frac{2x_{1}x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(x_{1}x_{2}+1)}$
Bài 6. Cho phương trình $\frac{2}{2-\sqrt{3}}x^{2}-mx+\frac{2}{2-\sqrt{3}}m^{2}+4m-1 = 0$ (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (10 có nghiệm thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} =x_{1}+x_{2}$
Bài 7. Cho $f(x)=x^{2}-2(m+2)x+6m+1$
a. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm với mọi m .
b. Đặt $x=t+2$ ; tính $f(x)$ theo $t$ . Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình $f(x)=0$ xó hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 8., Cho phương trình $x^{2}-(2m-3)x+m^{2}-3m=0$
a) CHứng minh rằng pt luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn :$1< x_{1}< x_{2}<6$
Bài 9. Tìm các số $a,b$ sao cho phương trình $x^{2}+ax+6=0$ và $x^{2}+bx+12=0$ có ít nhất một nghiệm chung và $\begin{vmatrix} a \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}$ nhỏ nhất .
Bài 10. Giả sử $x_{0}$ là một nghiêm của phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+x=0$ . Đặt $M = max\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{a}{b} \end{vmatrix} ,\begin{vmatrix} \frac{c}{a} \end{vmatrix} \end{Bmatrix}$ . Chứng minh rằng $\begin{vmatrix} x_{0} \end{vmatrix} \leq 1+M$
Bài 11 . Cho phương trình $(x+1)^{4}-(m-1)(x+1)^{2}-m^{2}+m-1$ (1)
a) Giải phương trình với $m=-1$.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ với mọi giá trị của tham số m.
c) Tìm giá trị của m để $\begin{vmatrix} x_{1} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{2} \end{vmatrix} =2$
( Chuyên Hà nội - Amsterdam 1998 - 1999)
Bài 12. Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thõa mãn điều kiện $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq 1$ với mọi $x\in \begin{Bmatrix} -1;1 \end{Bmatrix}$ . Tìm GTNN của biểu thức A = $4a^{2}+3b^{2}$
Bài 13. Giả sử phương trình bậc hai : $x^{2}+ax+b+1=0$ có hai nghiệm nguyên dương . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}$ là một hợp số .
Bài 14. Cho phương trình bậc hai : $2x^{2}+(2m-1)x+m-1=0$ .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m .
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm đó .
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thõa mãn $-1< x_{1}< x_{2}<1.$
d) Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ , hãy lập một hệ thức giũa $x_{1}$ và $x_{2}$ không có m
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 18-07-2012 - 15:54