ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TIỀN GIANG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
Bài 1: (2đ)1. Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}$
2. Giải phương trình và hệ phương trình:
a) $5x – 8 – (3x – 8)\sqrt{2x+1}=0$
b) $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + x - 4y - 2 = 0\\\sqrt {x + 2} = y + 1\end{array} \right.$
Bài 2: (2đ)
1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y =\frac{{{x^2}}}{4}$ và đường thẳng $(d): y= mx+1$
a) Chứng minh rằng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$, với mọi $m\in \mathbb{R}$.b) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng hiệu số giữa nửa độ dài đoạn thẳng $AB$ và tung độ điểm $I$ không phụ thuộc vào $m$.
2. Cho các số thực $m, n$ lớn hơn 1, thỏa điều kiện: $0 \leq m^2 – 4n < 1$. Chứng minh rằng phương trình $x^3 – (m + 1)x^2 + (m + n)x – n = 0$ luôn có 3 nghiệm dương. Giả sử $\Delta ABC$ có độ dài 3 cạnh là 3 nghiệm của phương trình trên, hãy tính diện tích của $\Delta ABC$ theo $m$ và $n$.
Bài 3: (2đ)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt {{x^2} - 7x + 2012} $
2. Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}$
3. Cho $xy = 2$ và $2x > y$. Chứng minh $\frac{{4{x^2} + {y^2} + 1}}{{2x - y}} \ge 6$. Dấu bẳng xảy ra khi nào?
Bài 4: (1,5đ)
1. Tìm các số nguyên $x$ để $x^2 – 7x + 17$ là số chính phương.
2. Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng.
Bài 5: (2,5đ)
Cho một tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$, tâm $O$. Gọi $P$ là một điểm di động trên cạnh $AB, Q$ và $R$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $AC$ và $BC$. Đặt $AP = x$, với $0 < x < a$.
1. Chứng minh tứ giác $PQCR$ nội tiếp trong một đường tròn.
2. Khi $x = \frac{a}{3}$, hãy tính diện tích $\Delta PQR$ theo $a$.
3. Chứng minh 3 điểm $P, G, O$ thẳng hàng khi $P$ di động, với $G$ là trong tâm của $\Delta PQR$.
4. Tìm tập hợp các trọng tâm $G$ của $\Delta PQR$ khi $P$ di động.
-----------------------------------HẾT--------------------------------------