Rất vui vì bạn có nhiều câu hỏi như vậy. Mình xin trình bày một phần như sau:
Trong lịch sử toán học, Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân được tìm ra gần như đồng thời với nhau (chứ không như ta học phổ thông, học đạo hàm trước và tích phân sau). Sau này, Newton và Leibniz độc lập với nhau tìm được mối liên hệ giữa nguyên hàm (phép tính ngược của đạo hàm) và tích phân.
Ban đầu (và cũng là bản chất) tích phân được định nghĩa như sau:
Như vậy, ban đầu, tích phân "sinh ra" không họ hàng gì với nguyên hàm (và đạo hàm, vi phân) cả.
Sau đó, Leibniz đề xuất kí hiệu tích phân là $\int_{a}^{b}f(x)dx$. Kí hiệu $\int$ là thay cho chữ $S$ - thường được viết tắt cho chữ Sum (tổng). Còn $f(x)dx$ là thay cho biểu thức $f(t_i)\Delta_i$
Như vậy việc xuất hiện $f(x)dx$ một cách hình thức là từ định nghĩa tích phân.
Tương tự vậy, từ định nghĩa đạo hàm:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
người ta kí hiệu: $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ (giống như ở trên, thay chữ $d$ cho $\Delta$)
Để dễ dàng cho các phép tính gần đúng, người ta biết đổi một chút, thế là có vi phân
$dy = f'(x).dx$
Sau này, hai nhà bác học nêu trên tìm ra mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm. Ta có công thức Newton-Leibniz nổi tiếng:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\left.\begin{matrix}F(x)\end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$
Vì thế nguyên hàm được kí hiệu là $\int f(x)dx$
Nguyên hàm là phép tính ngược của đạo hàm. Vi phân là phép tính ngược của tích phân
Rất mong được bạn cùng trao đổi
rõ ràng các bạn đang nói trong trường hợp là biến x độc lập, vậy nếu x không độc lập thi sao