Đến nội dung


Hình ảnh

Đi tìm mối liên hệ giữa đạo hàm, nguyên hàm và vi phân ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#21 VuHongQuan

VuHongQuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Da Nang
  • Sở thích:Toán và Tiếng Anh

Đã gửi 10-11-2015 - 04:04

Rất vui vì bạn có nhiều câu hỏi như vậy. Mình xin trình bày một phần như sau:

Trong lịch sử toán học, Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân được tìm ra gần như đồng thời với nhau (chứ không như ta học phổ thông, học đạo hàm trước và tích phân sau). Sau này, Newton và Leibniz độc lập với nhau tìm được mối liên hệ giữa nguyên hàm (phép tính ngược của đạo hàm) và tích phân.

Ban đầu (và cũng là bản chất) tích phân được định nghĩa như sau:




Như vậy, ban đầu, tích phân "sinh ra" không họ hàng gì với nguyên hàm (và đạo hàm, vi phân) cả.

Sau đó, Leibniz đề xuất kí hiệu tích phân là $\int_{a}^{b}f(x)dx$. Kí hiệu $\int$ là thay cho chữ $S$ - thường được viết tắt cho chữ Sum (tổng). Còn $f(x)dx$ là thay cho biểu thức $f(t_i)\Delta_i$

Như vậy việc xuất hiện $f(x)dx$ một cách hình thức là từ định nghĩa tích phân.

Tương tự vậy, từ định nghĩa đạo hàm:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
người ta kí hiệu: $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ (giống như ở trên, thay chữ $d$ cho $\Delta$)

Để dễ dàng cho các phép tính gần đúng, người ta biết đổi một chút, thế là có vi phân
$dy = f'(x).dx$



Sau này, hai nhà bác học nêu trên tìm ra mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm. Ta có công thức Newton-Leibniz nổi tiếng:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\left.\begin{matrix}F(x)\end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Vì thế nguyên hàm được kí hiệu là $\int f(x)dx$
Nguyên hàm là phép tính ngược của đạo hàm. Vi phân là phép tính ngược của tích phân

Rất mong được bạn cùng trao đổi

rõ ràng các bạn đang nói trong trường hợp là biến x độc lập, vậy nếu x không độc lập thi sao



#22 hxthanh

hxthanh

  • Quản trị
  • 3437 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-08-2022 - 10:10

Đào chủ đề này lên mời Netbit vào cho ý kiến!
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#23 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2250 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2022 - 17:02

Vi phân được định nghĩa thế nào trong SGK ấy anh nhỉ? Theo như em hiểu thì anh Thanh muốn hỏi ý kiến của em về việc nên giải thích cho học sinh thế nào? Nếu vậy thì em cần được biết là học sinh được dạy trong SGK như thế nào, vì theo như em nhớ thì hồi trước tụi em không được học (có học về vi phân nhưng là từ môn Vật Lý). Định nghĩa về tích phân trong SGK hiện tại cũng không phải là định nghĩa thông dụng (dựa vào tổng Riemann hoặc tổng Darboux), nên có thể định nghĩa về vi phân cũng vậy. (Mà thực ra vi phân có nhiều định nghĩa khác nhau, và những định nghĩa này đều cần nhiều kiến thức cao hơn chứ với học sinh phổ thông thì rất khó để đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về mặt Toán học.)


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh