Đã có đề hiệp 2.
Mở rộng 4 :
Đã mở rộng số mũ, hệ số 2 và 9
tiếp theo ta sẽ biến hệ 3 phương trình thành hệ n phương trình
$\left\{\begin{matrix}
\\ tx_1(a^2 + x_2^2)= x_2(x_2^2 + ka^2)
\\ tx_2(a^2 + x_3^2)= x_3(x_3^2 + ka^2)
\\ .....
\\ tx_n(a^2 + x_1^2)= x_1(x_1^2 + ka^2)
\\
\end{matrix}\right.$
Cách làm chỉ hơi dài và phức tạp thôi ! Về cơ bản thì vẫn như cũ
kết quả cũng là
$x_1 = x_2 = ... = x_n = a\sqrt{k - t}{t - 1}$
(em cũng xin ko nên ra , vì nó chỉ là tổng quát lên thôi ! cách làm y hệt , ko hề khác nên em xin ko nêu ra)
Mở rộng 5)
Em vấp bài hệ này , nhầm sang BĐT
nhưng từ đó , em cũng kiếm ra được 1 mở rộng khác
Chứng minh với hệ
$\left\{\begin{matrix}
\\ 2x(a^2 + y^2)= y(y^2 + 9a^2)
\\ 2y(a^2 + z^2)= z(z^2 + 9a^2)
\\ 2z(a^2 + x^2)= x(x^2 + 9a^2)
\end{matrix}\right.$
thì $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \geq 7a^2$
Biến đổi theo bài toán gốc thì ta có
$(1 + \frac{8a^2}{a^2 + x^2})(1 + \frac{8a^2}{a^2 + y^2})(1 + \frac{8a^2}{a^2 + z^2}) = 8$
Sử dụng BĐT holder (dùng AM - GM nhưng em xin đc rút ngắn , vì nó là mr nên em dùng !?)
theo holer
$VT \geq (1 + \frac{8a^2}{\sqrt[3]{(a^2 + x^2)(a^2 + y^2)(a^2 + z^2)}})^3 \geq (1 + \frac{8a^2}{\frac{3a^2 + x^2 + y^2 + z^2}{3}})^3$
$\Leftrightarrow 2 \geq 1 + \frac{8a^2}{\frac{3a^2 + x^2 + y^2 + z^2}{3}}$
$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{8a^2}{\frac{3a^2 + x^2 + y^2 + z^2}{3}}$
từ đó suy ra đpcm
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Mở rộng 6)
Tại sao ko làm mạnh nó lên !?
$\left\{\begin{matrix}
\\ 2x(a^2 + y^2)= y(y^2 + 9a^2)
\\ 2y(a^2 + z^2)= z(z^2 + 9a^2)
\\ 2z(a^2 + x^2)= x(x^2 + 9a^2)
\end{matrix}\right.$
Chứng minh BĐT
$\frac{xz^2 + yx^2 + zy^2}{x + y + z} \geq 7a^2$
Thực ra không khó , cộng 3 vế PT và dùng chút AM - Gm là ta có đc điều trên
Thật vậy
Nhân ra và cộng vế vs vế 3 pt
$\sum x^3 + 7a^2(\sum x) = 2\sum xy^2$ (1)
Theo AM-Gm có
$x^3 + xz^2 \geq 2x^2z$
suy ra $\sum x^3 + \sum xz^2 \geq 2\sum xy^2$ (2)
từ (1) và (2)
Suy ra $\sum xz^2 \geq 7a^2(\sum x)$
Suy ra đpcm !
Và nếu làm mạnh hơn ta sẽ có BĐT khác mạnh hơn
Mở rộng 7)
$\left\{\begin{matrix}
\\ 2x(a^2 + y^2)= y(y^2 + 9a^2)
\\ 2y(a^2 + z^2)= z(z^2 + 9a^2)
\\ 2z(a^2 + x^2)= x(x^2 + 9a^2)
\end{matrix}\right.$
Chứng minh
Suy ra
$\sum x^3 + 7a^2(\sum x) = 2\sum xy^2$
$\sum x^3 + 3xyz - 3xyz + \sum xz^2 - \sum xy^2 + 7a^2(\sum x) \geq \sum xy^2 + \sum xz^2 $
Khi đó theo schur thì $\sum x^3 + 3xyz \geq \sum xy^2 + \sum xz^2 $
Nên $- 3xyz + \sum xz^2 - \sum xy^2 + 7a^2(\sum x) \geq 0$
Suy ra $ 7a^2(\sum x) \geq 3xyz - \sum xz^2 + \sum xy^2$
suy ra đpcm !