Chủ đề này có 452 trả lời

[henry0905]

Lời nói đầu: Đối với các bạn THCS thì hình học là một vấn đề khó, kiến thức trải dài từ lớp lớp 7 đến lớp 9. Một số bạn e ngại, cảm thấy lúng túng khi gặp các bài toán quỹ tích, dựng hình, cực trị, đi qua điểm cố định, thẳng hàng, đồng quy,... Topic này sẽ là nơi trao đổi các bài toán dạng này cùng với đó là những phương pháp, kinh nghiệm giải toán để nâng cao khả năng giải những bài toán hình khó cho các bạn. Mong các bạn trình bày rõ ràng kèm hình vẽ và post 1 bài 1 lần để không làm loãng topic. Nếu bài nào mình có cách khác thì mình sẽ post lên diễn đàn.
Mình xin mở đầu bằng 2 bài toán quỹ tích:

Bài 1: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$, vẽ đường thẳng $(d)$ quay quanh $O$ cắt 2 cạnh $AD$, $BC$ tại $E$, $F$ ($E$, $F$ không trùng với các đỉnh hình vuông). Từ $E$, $F$ lần lượt vẽ các đường thẳng song song với $DB$, $AC$ và cắt nhau tại $I$.
a) Tìm tập hợp điểm $I$;
b) Từ $I$ vẽ đường vuông góc $EF$ tại $H$. Chứng minh rằng $H$ thuộc 1 đường cố định và $IH$ đi qua 1 điểm cố định.

Bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$, dây $AB$ cố định ($AB$ khác đường kính), $M$ bất kì trên cung lớn $AB$ ($M$ khác $A$, $B$). Gọi $I$ là trung điểm dây $AB$ và $(O')$ là đường tròn qua $M$, tiếp xúc $AB$ tại $A$; $MI$ cắt $(O)$, $(O')$ tại $N$, $P$. Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển thì trọng tâm tam giác $PAB$ chạy trên 1 đường cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 06-07-2012 - 00:01

[triethuynhmath]

1a,ý đầu b dễ:
a) Dễ chứng minh OB là trung trực IF=> BI=BF =>$\angle BFI=\angle BIF=\angle BCA=\angle BAC$
=> 2 tam giác BÌ đồng dạng tam giác BAC(gg)
=>$\angle IBC=\angle ABC$=> A,I,B thẳng hàng => I thuộc AB cố định.
P/s:câu này trông giống bài thi vào chuyên toán ptnk năm nay nhưng có điều bài này dễ hơn
b)Lười quá nên làm tắt .Chứng minh được tam giác EIF đồng dạng tam giác AHB(gg)
=> $\angle AHB=90^0$=> H thuộc đường tròn đường kính AB.

[L Lawliet]

Rất mong topic này phát triển, do vậy cần có một số điều cần lưu ý như sau:
- Lời giải đưa ra phải có hình vẽ rõ ràng (nếu chưa rõ về việc vẽ hình thì tham khảo ở đây), bài viết phải được viết bằng công thức toán rõ ràng (dấu suy ra hay tương đương cũng vậy).
- Đánh số thứ tự bài.
- Không spam, nếu bài được post qua 3 ngày chưa có lời giải thì người post đề phải đưa đáp án.
- Viết tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng,...
- Trình bày rõ ràng, không làm tắt,...
Mong các bạn thực hiện nội quy topic để topic phát triển hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 05-07-2012 - 20:47

[henry0905]

Bài 3 (Cực trị): (I),(O) là các đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC nhọn. AI,BI,CI cắt (O) tại M,N,P (M,N,P không trùng A,B,C). C/m $S_{BMCNAP}\geq 2S_{ABC}$

[hamdvk]

Bài 3 (Cực trị): (I),(O) là các đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC nhọn. AI,BI,CI cắt (O) tại M,N,P (M,N,P không trùng A,B,C). C/m $S_{BMCNAP}\geq 2S_{ABC}$

Giả sử có (O;R) và (I;r)
Vì I là tam đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ nên M,N,P lần lượt sẽ là điểm chính giữa cung BC, AC, AB
$\Rightarrow ON\perp AC$
$ OM\perp BC$
$OP\perp AB$
Ta có $S_{AOCN}=\frac{1}{2}ON.AC=\frac{1}{2} R.AC$
tương tự $S_{AOBP}=\frac{1}{2}R.AB$
$S_{BOCM}=\frac{1}{2}R.BC$
$\Rightarrow S_{ANCMBP}=S_{APCN}+S_{BOCM}+S_{AOBP}=\frac{1}{2}R.(AB+BC+CA)$
lại có $S_{ABC}=\frac{1}{2}r (AB+BC+CA)$
$\Rightarrow \frac{S_{ANCMBP}}{S_{ABC}}=\frac{R}{r}\geq 2$
Do $R\geq 2r$ (hệ thức Ơ le )
Suy ra đpcm

-----
Bạn nào muốn có cách cm hệ thức thì tham khảo tại đây
Còn hai bài toán mình chưa tìmra lời giải trong Topic vẽ thêm đường kẻ phụ có thể coi là khó !!
Mong các bạn giải giúp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 06-07-2012 - 15:27

[henry0905]

Bài 4 (bài này thiên về vật lý-quang học): Cho A,B cùng nằm trên nửa mặt phẳng xy. Xác định M trên xy sao cho MA+MB nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 05-07-2012 - 21:38

[BlackSelena]

Bài 2 sai đề rồi anh, $MI$ đâu cắt được $(O)$

[henry0905]

Đây là 1 bài bên "topic kẻ thêm đường phụ" theo ý bạn hamdvk

Cho $\widehat{xAy }$ nhọn, B và C lần lượt là điểm cố định trên các tia Ax và Ay sao cho AB < AC, M là điểm di động trong góc xAy sao cho $\frac{MA}{MB}= \frac{1}{2}$.
Xác định vị trí điểm M để có MB + 2MC đạt giá trị nhỏ nhất.

$\Rightarrow 2MA=MB$
MB+2MC $\Leftrightarrow 2(MA+MC)\geq 2AC$
Dấu = xảy ra khi M thuộc cạnh AC sao cho 2MA=MB
 ScreenHunter_01 Jul. 05 22.16.gif   9.51K   247 Số lần tải

[henry0905]

Bài 2 sai đề rồi anh, $MI$ đâu cắt được $(O)$

Sr bạn, mình đã chỉnh sửa lại. Nhân tiện gửi hình bài 2:
 ScreenHunter_02 Jul. 05 22.28.gif   18.29K   140 Số lần tải

[Cao Xuân Huy]

Bài 4 (bài này thiên về vật lý-quang học): Cho A,B cùng nằm trên nửa mặt phẳng xy. Xác định M trên xy sao cho MA+MB nhỏ nhất

Nói sơ thôi.
Nếu nhớ không lầm thì đây là 1 bài trong SGK toán 8 (bài gì gì đó mà có người gánh nước).
Dựng C đối xứng A qua xy. CB cắt xy tại điểm M cần tìm

[BlackSelena]

1a,ý đầu b dễ:
a) Dễ chứng minh OB là trung trực IF=> BI=BF =>$\angle BFI=\angle BIF=\angle BCA=\angle BAC$
=> 2 tam giác BÌ đồng dạng tam giác BAC(gg)
=>$\angle IBC=\angle ABC$=> A,I,B thẳng hàng => I thuộc AB cố định.
P/s:câu này trông giống bài thi vào chuyên toán ptnk năm nay nhưng có điều bài này dễ hơn
b)Lười quá nên làm tắt .Chứng minh được tam giác EIF đồng dạng tam giác AHB(gg)
=> $\angle AHB=90^0$=> H thuộc đường tròn đường kính AB.

Chưa triệt để nhỉ Chứng minh tiếp đây

Dựng hình vuông $AOBD$, dễ thấy điểm $D:const$ ta sẽ chứng minh $H,I,N: \text{thẳng hàng}$
Thật vậy, ta có $MH = MO = MN$
$\Rightarrow H \text{chuyển động trên đường tròn đường kính ON}$
Mà $\angle IHO = 90^o \Rightarrow H,I,N: \text{thẳng hàng}$
Vậy $HI$ đi qua $N:const$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 05-07-2012 - 22:59

[henry0905]

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn có AD,BE,CF là đường cao cắt nhau tại H. C/m $DE+DF\leq BC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 05-07-2012 - 22:59

[Beautifulsunrise]

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn có AD,BE,CF là đường cao cắt nhau tại H. C/m $DE+DF\leq BC$

 h21424.JPG   39.61K   91 Số lần tải

[triethuynhmath]

Bài này xem,vẽ đường phụ cũng kinh:
gọi M là trung điểm BC,vẽ (M)đường kính BC.DDCM rằng E,F thuộc (M) nhé.Gọi N là điểm đối xứng của E qua BC=> N thuộc (M)(t/c đối xứng)
ta có DE=DN(t/c đối xứng do D nằm trên BC)
Tứ giác DFEM nội tiếp(đường tròn Ơle,có nhiều cách chứng minh)
=>$\angle BDF=\angle FEM$$\angle BDF=\angle FEM$.ME=MF => $\angle FEM=\angle MFE=\angle EDM$.Vậy $\angle FDB=\angle EDM=\angle NDC$=> $\angle FDB+\angle FDC=\angle NDC+\angle FDC$$=180^0$=> F,D,N thẳng hàng=> $FD+DE=FD+DN=FN\leq BC$(Dây và đường kính)

[henry0905]

Bài 6: $\Delta$ ABC có AM là trung tuyến, AD phân giác. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ADM cắt AB,AC tại E,F. I là trung điểm EF, MI cắt AB,AC tại N,P.C/m $\Delta$ ANP cân

[Beautifulsunrise]

Bài 6: $\Delta$ ABC có AM là trung tuyến, AD phân giác. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ADM cắt AB,AC tại E,F. I là trung điểm EF, MI cắt AB,AC tại N,P.C/m $\Delta$ ANP cân

 h21424.JPG   77.01K   103 Số lần tải

[henry0905]

Cách c/m của bác binhmetric rất hay. Cháu xin được giải cách khác:
Ta có: $\triangle BED\sim \triangle BMA\Rightarrow \frac{BE}{BM}=\frac{BD}{BA}\Rightarrow BE=\frac{BD.BM}{BA}$
Tương tự $CF=\frac{CD.CM}{CA}$
AD là phân giác nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow BE=CF$
Gọi J là trung điểm EC $\Rightarrow$ MJ//AB, IJ//FC. IJ cắt BC tại K
$\Rightarrow \widehat{MJK}=\widehat{BAC}$
Ta có $IJ=\frac{FC}{2},JM=\frac{BE}{2}\Rightarrow \triangle IJM$ cân
$\Rightarrow \widehat{IMJ}=\widehat{JIM}=\widehat{CPM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{ANP}$
$\Rightarrow \triangle ANP$ cân
 ScreenHunter_01 Jul. 06 01.38.gif   21.66K   69 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 06-07-2012 - 01:43

[henry0905]

Bài 7: D,E là các điểm di động trên AB,AC của tam giác ABC sao cho 3BD=2CE. C/m tâm (O) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn nằm trên 1 đường cố định.

[L Lawliet]

Bài 4 (bài này thiên về vật lý-quang học): Cho A,B cùng nằm trên nửa mặt phẳng xy. Xác định M trên xy sao cho MA+MB nhỏ nhất

Trình bày rõ bài 4 luôn ^^
Bài 4:
 Untitled.png   18.43K   119 Số lần tải
Lấy điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua $xy$ và $M'$ là giao điểm của $A'B$ với $xy$ thì theo tính chất đối xứng ta có: $AM'=A'M'$.
Nên ta có: $AM'+M'B=A'M'+M'B=A'B$
Mặt khác trong tam giác $A'MB$ ta có: $MA'+MB\geq A'B$
Dấu $"="$ xảy ra khi $M\equiv M'$.

[BlackSelena]

Cho hỏi là topic này chỉ có chủ topic được đăng đề lên thôi hay người khác cũng đăng đề được vậy?

Post thoải mái đê
Bài 8: cho $\triangle ABC$, $G$ là trọng tâm qua G kẻ đường thẳng d cắt tia đối của tia CB tại $A_{1}$. Cắt AB, AC lần lượt tại $C_{1}$, $B_{1}$
CMR: $\dfrac{1}{GC_{1}}=\dfrac{1}{GB_{1}}+\dfrac{1}{GA_{1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 06-07-2012 - 13:02