Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c>0 có tổng bằng 1. CMR $\sum \frac{ab}{\sqrt{b(a+c)}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
Cho ba số dương a,b,c và có tổng bằng 1. CMR: $\frac{ab}{\sqrt{b(a+c)}}+\frac{bc}{\sqrt{c(b+a)}}+\frac{ca}{\sqrt{a(c+b)}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
(China 2006)

#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
Theo BĐT Cauchy-schwarz ta có : $\sum \frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}= \sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}}\leq \sum \frac{a\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$
Ta cần CM : $\sum \frac{a\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\leq 1$
Đặt $\sqrt{a}= x,\sqrt{b}= y,\sqrt{c}= z$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{2x^{2}y}{z+x}\leq 1= \sum x^{2}$
$\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum (2xy-\frac{2x^{2}y}{z+x})\geq 2\sum xy$$\Leftrightarrow \sum x^{2}+2xyz\sum \frac{1}{z+x}\geq 2\sum xy$
Mà $2xyz\sum \frac{1}{z+x}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$ nên BĐt cần CM đc đua về :
$\sum x^{2}+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2\sum xy$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)+9xyz\geq 2(xy+yz+zx)(x+y+z)$
$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
( Đúng theo Schur )
Đ.P.C.M OK




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh