Đề hiệp 4
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=\dfrac{1-16xyz}{4}$.
Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\dfrac{x+y+z+4xyz}{1+4(xy+yz+xz)}$
Sau đây là một lời giải khá dài và khó đỡ, mong Giám khảo thông cảm !!!
_____________________
Vì $x^2+y^2+z^2=\dfrac{1-16xyz}{4}$ nên ta có thể đặt:
$$x=\dfrac{m^2+n^2-p^2}{4mp}$$
$$y=\dfrac{n^2+p^2-m^2}{4mp}$$
$$y=\dfrac{p^2+m^2-n^2}{4mp}$$
(với $m,n,p$ là các số dương)
Suy ra:
$$A=\dfrac{x+y+z+4xyz}{1+4(xy+yz+xz)}$$
$$=\frac{1}{4}\,{\dfrac {{m}^{3}+{m}^{2}n+{m}^{2}p+4\,mnp+m{n}^{2}+{p}^{2}m+{p}^{2
}n+{n}^{2}p+{n}^{3}+{p}^{3}}{{m}^{2}n+{m}^{2}p+mnp+m{n}^{2}+{p}^{2}m+{
p}^{2}n+{n}^{2}p}}$$
Ta sẽ chứng minh:
$$A \geq \dfrac{13}{28}$$
$$\Leftrightarrow A - \dfrac{13}{28} \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{28}\,{\frac {7\,{m}^{3}-6\,{m}^{2}n-6\,{m}^{2}p+15\,mnp-6\,m{n}^{2}-6
\,{p}^{2}m-6\,{p}^{2}n-6\,{n}^{2}p+7\,{n}^{3}+7\,{p}^{3}}{{m}^{2}n+{m}
^{2}p+mnp+m{n}^{2}+{p}^{2}m+{p}^{2}n+{n}^{2}p}}
\geq 0$$
$$\Leftrightarrow 7(m^3+n^3+p^3)+15 mnp \geq 6(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2)$$
Theo BĐT Schur bậc 3 thì:
$$m^3+n^3+p^3+3mnp \geq m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2$$
Suy ra :
$$7(m^3+n^3+p^3)+21 mnp \geq 7(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2)$$
Hay
$$7(m^3+n^3+p^3)+15 mnp \geq 7(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2) - 6 mnp$$
$$=6(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2) + (m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2 - 6mnp)$$
$$\geq 6(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2) + 6 \sqrt[6]{m^6n^6p^6}-6 mnp$$
$$ = 6(m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2)$$
(áp dụng BĐT Cô-si cho 6 số dương)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh !!!
Vậy $A \geq \dfrac{13}{28}$
$A_{min} = \dfrac{13}{28} \Leftrightarrow m=n=p \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$
________________
Chứng minh BĐT Cô-si 6 số:
Với $a,b,c,d,e,f>0$ thì $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 \geq 6abcdef$
Thật vậy:
$2(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6)-12abcdef$
$=(a^2+b^2+c^2)((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2))$
$+(d^2+e^2+f^2)((d^2-e^2)^2+(e^2-f^2)^2+(f^2-d^2)^2)$
$+3(abc-def)^2$
$ \geq 0$
Suy ra đpcm
____________________
Còn cách đặt ẩn phụ thì phá ra thôi !!!
No Comment D-B=18h
E=10
F=0
S=60
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-07-2012 - 11:37