4 replies to this topic

[ha_cassie]

Giải phương trình: $7\cos^{2}{x}+37\sin^{28}{x}=37$

Edited by huymit_95, 08-07-2012 - 15:42.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$

Giải

Phương trình trên tương đương:
$37(\sin^{28}x - 1) + 7(1 - \sin^2{x}) = 0 \,\, (2)$

Áp dụng HĐT:
$$a^{14} - 1 = (a - 1)(a^{13} + a^{12} +… + a^2 + a + 1)$$
với $a = \sin^{2}x$

Phương trình (2) tương đương:
$37(\sin^2{x} - 1)(\sin^{26}x + \sin^{24}x + ... + 1) + 7(1 - \sin^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin^2{x} - 1)[37(\sin^{26}x + \sin^{24}x + … + \sin^2{x}) + 30] = 0$

$\Leftrightarrow \sin^2{x} = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \,\, (k \in Z)$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 08-07-2012 - 15:38.

[vietfrog]

Giải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$

Lời giải
Cách này thì đặc trưng hàm số.
Đặt :\[a = {\sin ^2}x \Rightarrow a \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có PT :\[37{a^{14}} - 7a - 30 = 0\]
Xét: \[f\left( a \right) = 37{a^{14}} - 7a - 30/a \in \left[ {0;1} \right] \to f'\left( a \right) = 518.{a^{13}} - 7\]
Ta có: \[Maxf\left( a \right) = Max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\sqrt[{13}]{{\frac{7}{{518}}}}} \right);f\left( 1 \right)} \right\} = f\left( 1 \right) = 0\]
Như vậy: \[f\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]

Edited by vietfrog, 08-07-2012 - 16:04.

[Tham Lang]

Lời giải
Cách này thì đặc trưng hàm số.
Đặt :\[a = {\sin ^2}x \Rightarrow a \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có PT :\[37{a^{14}} - 7a - 30 = 0\]
Xét: \[f\left( a \right) = 37{a^{14}} - 7a - 30/a \in \left[ {0;1} \right] \to f'\left( a \right) = 518.{a^{13}} - 7\]
Ta có: \[ Max f\left( a \right) = Max \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\frac{5}{{518}}} \right);f\left( 1 \right)} \right\} = f\left( 1 \right) = 0\]
Như vậy: \[f\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]

Hình như phải là
$f\left (\sqrt[13]{\dfrac{7}{518}}\right )$ chứ ạ

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Giải phương trình: $7\cos^{2}{x}+37\sin^{28}{x}=37$

1 cách khác cho bài này

ta thấy là $ sinx \in [-1;1] $ nên $ sin^{28}x \leq sin^2x $

áp dụng vào bài toán ta có:

$ 37=7cos^2x+37sin^{28}x \leq 7cos^2x+37sin^2x $

$ \Leftrightarrow 30sin^2x \geq 30 $

điều này dẫn đến $ sin^2x=1 $

hay $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi $

Edited by NGOCTIEN_A1_DQH, 08-07-2012 - 17:05.