Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ với $SA=2a,AB=a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SC$. Chứng minh $SC$ vuông góc với mp$(ABH)$. Tính thể tích khối chop $S.ABH$.
Gọi O là trọng tâm $\Delta$ABC
$ = > SO \bot \left( {ABC} \right)$ (tính chất hình chóp đều)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot AB \\
CO \bot AB \\
\end{array} \right. = > AB \bot \left( {SOC} \right)$
$\left. \begin{array}{l}
= > AB \bot SC \\
{\rm{ }}AH \bot SC \\
\end{array} \right\} = > SC \bot \left( {AHB} \right)$
$\Delta$vuông SOA cho ta:
$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}$
Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$
Đặt $p = \frac{{SA + SC + AC}}{2} = \frac{{5a}}{2}$
Theo công thức Herong:
\[{S_{SAC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SC} \right)\left( {p - AC} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\]
Mà
${S_{SAC}} = \frac{1}{2}AH.SC = > AH = \frac{{2{S_{SAC}}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}$
$\Delta$vuông SHA cho ta
$SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{7a}}{4}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SABH}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}\frac{{SB}}{{SB}}\frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{7}{8} \\
= > {V_{SABH}} = \frac{{7{a^3}\sqrt {11} }}{{96}} \\
\end{array}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 10-07-2012 - 12:44