Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
phodinhvl

phodinhvl

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Thứ 5 này là em nộp bài rồi. Mà còn 3 bài nữa không biết giải. Các pro giải giúp em nhé. Em chân thành cảm ơn!
Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$

Bài 2: Cho hàm số
$y=\sqrt{1-e^{-x^{2}}}$
Chứng minh HS không có đạo hàm tại x=0

Bài 3: http://no6.upanh.com/b6.s29.d3/52a4c623c2af6a902c73eccddcf50ef5_47082596.imag0051.jpg
(bài 3 em soạn không đc, các bác xem đề = hình ảnh dùm em)
Chân thành cảm ơn!@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phodinhvl: 10-07-2012 - 23:19


#2
phodinhvl

phodinhvl

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Các bác giải giúp dùm em. Thank!

#3
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Thứ 5 này là em nộp bài rồi. Mà còn 3 bài nữa không biết giải. Các pro giải giúp em nhé. Em chân thành cảm ơn!
Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$


$\boxed{\textbf{LỜI GIẢI}}$

Đặt $X = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}},\,\,x \ne 1$, khi đó ta có chuỗi $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} {X^n}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$ là chuỗi lũy thừa.

Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$

Suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}.\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = 1\]

Suy ra, bán kính hội tụ của chuỗi là $r = 1$. Khoảng hội tụ của chuỗi là $\left( { - 1;1} \right)$

$ \bullet $ Tại $X = - 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^n}} $ là chuỗi đan dấu với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0\\
\left( {{u_n}} \right)\,\,\,\text{là dãy giảm}
\end{array} \right.$

Theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ.

$ \bullet $ Tại $X = 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} $, dễ thấy chuỗi này hội tụ $\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0} \right)$

Vậy miền hội tụ của chuỗi $\left( * \right)$ là $\left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow - 1 \le X \le 1 \Rightarrow - 1 \le \frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \ge - 1\\
\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1
\end{array} \right.$

Bạn giải hệ bất phương trình trên tìm được miền giá trị của $x$. Từ đó suy ra được miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là $\left[ {a;b} \right]$

#4
Draconid

Draconid

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Câu 2:Ta có:
$f'\left ( 0 \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$

Xét $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=-1$

Suy ra $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'\left ( x \right )\neq \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'\left ( x \right )$
Hàm số ko có đạo hàm tại x=0
Câu 3: ví dụ nhé

$f'\left ( x,-1 \right )=\lim_{y\rightarrow -1}\frac{f(x,y)-f(x,-1)}{y+1}$

Khai triển ra ta được: $f'\left ( x,-1 \right )=\frac{-2x}{x^{2}+1}$
PC đã hỏng chờ mua máy mới :((




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh