Thứ 5 này là em nộp bài rồi. Mà còn 3 bài nữa không biết giải. Các pro giải giúp em nhé. Em chân thành cảm ơn!
Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$
$\boxed{\textbf{LỜI GIẢI}}$
Đặt $X = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}},\,\,x \ne 1$, khi đó ta có chuỗi $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} {X^n}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$ là chuỗi lũy thừa.
Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$
Suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}.\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = 1\]
Suy ra, bán kính hội tụ của chuỗi là $r = 1$. Khoảng hội tụ của chuỗi là $\left( { - 1;1} \right)$
$ \bullet $ Tại $X = - 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^n}} $ là chuỗi đan dấu với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0\\
\left( {{u_n}} \right)\,\,\,\text{là dãy giảm}
\end{array} \right.$
Theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ.
$ \bullet $ Tại $X = 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} $, dễ thấy chuỗi này hội tụ $\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0} \right)$
Vậy miền hội tụ của chuỗi $\left( * \right)$ là $\left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow - 1 \le X \le 1 \Rightarrow - 1 \le \frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \ge - 1\\
\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1
\end{array} \right.$
Bạn giải hệ bất phương trình trên tìm được miền giá trị của $x$. Từ đó suy ra được miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là $\left[ {a;b} \right]$