Đến nội dung

Hình ảnh

Giải pt nghiệm nguyên $y^3=(x-2)^4-x^4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
Post lên diễn đàn 1 bài cho anh em thảo luận vậy :D
Giải pt nghiệm nguyên
$y^3=(x-2)^4-x^4$
Nếu có nhiều cách giải đưa ra càng nhiều càng tốt >:) :)

#2
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Ta có $y^3$=$(x-2)^4$-$x^4$=-8(x-1)($x^2$-2x+2)
$\Rightarrow$ y chẵn $\Rightarrow$ đặt y=-2k(k $\epsilon$ Z).
$\Rightarrow$ -8$k^3$=-8(x-1)($x^2$-2x+2) $\Leftrightarrow$ $k^3$=(x-1)($x^2$-2x+2)
Do ƯCLN(x-1,$x^2$-2x+2)=1 nên x-1=$a^3$ và $x^2$-2x+2=$b^3$ (a,b $\epsilon$ Z)
Ta có $(a^3)^2$+1=$b^3$ $\Rightarrow$ b>0. Đặt $a^2$=c(c $\epsilon$ N)
ta có $c^3$+1=$b^3$ mà b,c $\epsilon$ N nên b>c.
Th1: b-c $\geqslant$ 2 $\Rightarrow$ $b^3$ $\geqslant$ $(c+2)^3$=$c^3$+6$c^2$+12c+8>$c^3$+1
$\Rightarrow$ trường hợp này loại
Th2:b-c=1 $\Rightarrow$ $c^3$+1=$(c+1)^3$ $\Leftrightarrow$ 3$c^2$+3c=0
$\Leftrightarrow$ 3c(c+1)=0 $\Rightarrow$ c=0( vì c $\epsilon$ N)
$\Rightarrow$ a=0 $\Rightarrow$ x=1 và y=0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x=1 và y=0

@nguyenta98: Bài này còn cách giải khác
Cách giải khác
$y^3=-8(x^3-3x^2+4x-2)=(-2x)^3+24x^2-32x+16$ sau đó kẹp giữa hai số lập phương liên tiếp :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-07-2012 - 12:02





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh