2 replies to this topic

[thien than cua gio]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}

\end{matrix}\right.$

[khanh3570883]

Biến đổi thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}} = y \\
\frac{{3y - {y^3}}}{{1 - 3{y^2}}} = z \\
\frac{{3z - {z^3}}}{{1 - 3{z^2}}} = x \\
\end{array} \right.\]
Đặt: $x = \tan a,y = \tan b,z = \tan c(a,b,c \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right))$
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tan 3a = \tan b \\
\tan 3b = \tan c \\
\tan 3c = \tan a \\
\end{array} \right.\]
Hệ này là hệ hoán vị đơn giản!

[kainguyen]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}

\end{matrix}\right.$

Điều kiện: $x;y;z \ne 0$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}

\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{z^3-3z}{3z^2-1}\\
y=\frac{x^3-3x}{3x^2-1}\\
z=\frac{y^3-3y}{3y^2-1}
\end{matrix}\right.$

Đặt $z=tana$ với $a \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\setminus \left \{ 0 \right \}$

Từ trên suy ra: $\left\{\begin{matrix}
x=tan3a\\
y=tan9a\\
z=tan27a
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow tana=tan27a$

$\Leftrightarrow 27a=a+k\pi $

$\Leftrightarrow a=k\frac{\pi}{26}$ với $k$ nguyên.

Đối chiếu với điều kiện: $a \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\setminus \left \{ 0 \right \}$ suy ra $k \in \left \{\mathbb{Z}|-13<k<13;k \ne 0\right \}$

Từ đây suy ra phương trình có nghiệm:

$(x;y;z)=(k\frac{\pi}{26};k\frac{3\pi}{26};k\frac{9\pi}{26})$ và các hoán vị với $k \in \left \{\mathbb{Z}|-13<k<13;k \ne 0\right \}$

Edited by kainguyen, 12-07-2012 - 22:14.