Chủ đề này có 327 trả lời

[h.vuong_pdl]

Cảm ơn anh đã ủng hộ nhiệt tình

Bài này em sử dụng định lí Rolle ( Không rõ có được dùng trong thi tỉnh không nhỉ )

$$\text{PT} \Longleftrightarrow 2007^x-(2007-1)^x=2005^x-(2005-1)^x$$

Xét $f(t)=t^x-(t-1)^x \Longrightarrow f'(t)=x.t^{x-1}-x.(t-1)^{x-1}$

Vì $f(2007)=f(2005)$ nên tồn tại $c \in [2005;2007]$ sao cho $f'©=0$, nghĩa là $x$ là nghiệm thì nó phải thoả $f'©=0$ hay

$$x.c^{x-1}-x.(c-1)^{x-1}=0 \Longleftrightarrow x\left ( c^{x-1}-(c-1)^{x-1} \right )=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=1 \end{matrix} \right.$$

------------------------------------



Bài này có ở đây rồi anh ! Em quote lời giải qua, mọi người cùng cho ý kiến nhé, một phương pháp hay có điều mình chưa hiểu

"Lấy phương trình $(1).25+(2).50$, nhóm lại ta được $25(3x+y)^2+50(3x+y)-119=0$

Giải phương trình này ta cũng được một hệ bậc nhất với $x,y$."

dạng này anh đã tổng hợp được thành phuơng pháp, đã được giới thiệu trên VMF, mấy đứa có thể tham khảo

@@@ bài này không phải thi HSG Tỉnh nghệ an mà là chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia của Tỉnh Nghệ An ( tuyển TST gì đó thì phải ).

[T M]

dạng này anh đã tổng hợp được thành phuơng pháp, đã được giới thiệu trên VMF, mấy đứa có thể tham khảo
@@@ bài này không phải thi HSG Tỉnh nghệ an mà là chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia của Tỉnh Nghệ An ( tuyển TST gì đó thì phải ).

Oh, anh có thể share link cho em được không ? Sao em không thấy nhỉ :S

-------------------------------

$\Rightarrow f(y)=f(x+1)\Leftrightarrow y=x+1$ thay vào phương trình 2 ta được...
p\s tới đó thì ...

Oh, đến đây nếu không có gì thì cứ bình lên thôi nhỉ

$2\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+4}=\sqrt{\frac{9x^2}{4}+4} \\ \Longrightarrow 9x^2+8x-32-16\sqrt{8-2x^2}=0 \\ \Longrightarrow-\left ( 9x^2-32 \right )\left ( 9x^2+16x+32 \right )=0\\ \Longrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\frac{4\sqrt{2}}{3} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{3}\end{matrix} \right.$

----------------------------

Anh Tiến post hộ em lời giải bài 59, 60 với ạ !

-----------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 20-07-2012 - 18:59

[T M]

Tiếp tục nào mọi người

Bài 63. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{1}{xy} & & \\
x^2+y^2-\frac{1}{x+y}=-x^2+2x+1
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG khối 12 - Tỉnh Nam Định - 2011/2012

[minhdat881439]

Oh, đến đây nếu không có gì thì cứ bình lên thôi nhỉ
$2\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+4}=\sqrt{\frac{9x^2}{4}+4} \\ \Longrightarrow 9x^2+8x-32-16\sqrt{8-2x^2}=0 \\ \Longrightarrow-\left ( 9x^2-32 \right )\left ( 9x^2+16x+32 \right )=0\\ \Longrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\frac{4\sqrt{2}}{3} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{3}\end{matrix} \right.$
----------------------------

Nhầm to rồi "hắc lào " ơi
sai đề rồi kìa phải là
$2\sqrt{2-x}+2\sqrt{2x+4}=\sqrt{\frac{9x^2}{4}+4}$
p\s hèn gì làm mãi không ra ông chuyên gia nhầm đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 20-07-2012 - 19:54

[NGOCTIEN_A1_DQH]

bài 60: giải PT:

$$ ln(x+1)^{2(x+1)}=x^2+2x $$

đề kiểm tra đội tuyển THPT đặng thúc hứa-nghệ an 2010-2011

tạm thời post lời giải bài này đã, bài 59 chưa nghĩ ra:

điều kiện: $ x >-1 $

$ PT \Leftrightarrow 2(x+1)ln(x+1)-x^2-2x=0 $

xét hàm số $ f(x)= 2(x+1)ln(x+1)-x^2-2x=0 $ với $ x>-1 $ ta có:

$ f'(x)=2ln(x+1)-2x$

$ f''(x)=\frac{2}{x+1}-2 $

$ f'''(x)=-\frac{2}{(x+1)^2}<0 $

mà $ f''(0=0 ; f'''(0)<0 $ nên hàm số $ g(x)=f'(x) $ đạt cực đại tại $ x=0 $

hay $ f'(x) \leq f'(0)=0 \forall x>-1 $

vậy nên PT $ f(x)=0 $ có không quá 1 nghiệm trên đoạn $ (-1;+\infty) $, đó là $ x=0 $

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Tiếp tục nào mọi người

Bài 63. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{1}{xy} & & \\
x^2+y^2-\frac{1}{x+y}=-x^2+2x+1
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG khối 12 - Tỉnh Nam Định - 2011/2012

chém luôn:

đặt $ x+y=s, xy=p $ thì PT(1) của hệ trở thành:

$ s^3-2sp+2p-s=0 $

$ \Leftrightarrow (s-1)(s^2-2p+s)=0 $

TH $ s=1 $ thì dễ rồi..........

xét TH còn lại: $ s^2-2p+s=0 $ hay $ x^2+y^2=-x-y $

thay vào PT(2) ta dc:

$ (2) \Leftrightarrow s+\frac{1}{s}=x^2-2x-1 $(*)

nếu $ s<0 $ thì ta có: $ s+\frac{1}{s} \leq -2 ; x^2-2x-1 \geq -2 $

dấu bằng xảy ra khi $ s=-2 , x=1 $

nếu $ s>0 $ thì từ $ s^2-2p+s=0 $ suy ra $ s^2-2p<0 \Leftrightarrow (x-y)^2<0 $ (vô lí)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 20-07-2012 - 23:04

[T M]

tiếp tục:
Bài 59: Giải phương trình
$$ log_{2+\sqrt{5}}(x^2-2x-11)=log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^2-2x-12) $$

Thừa Thiên Huế 2002-2003

-------------------------------------------------

Bài 52:
Cho phương trình $x^3-3x^2+1=0$
Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$.
Giả sử $x_1<x_2<x_3$, chứng minh: $|x_1|<x_2$ và $(2-x_1)(2+x_2)(2+x_3)>27$

(HSG Nam Định 2008 - 2009)

Còn 2 bài này chưa có lời giải, mọi người chém nốt đi nhé

-------------------

Nghĩ ra 1 cách bài 52, nhưng không thuyết phục lắm, mạng nặng tính "mò"

Có $f'(x)=3x^2-6x \Longrightarrow f'(x)=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0 \\ x=2 \end{matrix}\right.$

Đến đây kẻ bảng biến thiên ngồi tự sướng

Xét $ (- \infty;0)$ có

$$\left\{\begin{matrix} f\left ( \frac{-1}{2} \right )=\frac{1}{8}& & \\ f\left ( \frac{-3}{5} \right )=\frac{-37}{125} & & \end{matrix}\right. \Longrightarrow f\left ( \frac{-1}{2} \right ).f\left ( \frac{-3}{5} \right )<0$$

Nghiệm thứ nhất trong đoạn $\left [ \frac{-3}{5};\frac{-1}{2} \right ]$

Xét $(0;2)$ có

$$f\left ( \frac{3}{5} \right ).f\left ( 2 \right )<0$$

Nghiệm thứ hai trong đoạn $\left [ \frac{3}{5};2 \right ]$

Xét $(2 ; +\infty)$ có

$$f\left ( \frac{14}{5} \right ).f(3)<0$$

Nghiệm thứ ba trong đoạn $\left [ \frac{14}{5};3 \right ]$

Từ đây ta dễ có $|x_1|<x_2$

Và $Min_A=\left ( 2+\frac{1}{2} \right ).\left ( 2+\frac{3}{5} \right ).\left ( 2+\frac{14}{5} \right )=\frac{156}{5}>27$

------------

Nếu trong phòng thi mà có Casio thì ngon, ngồi bấm nghiệm rồi dò khoảng, còn không có máy tính thì mình cũng chịu !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 21-07-2012 - 11:42

[T M]

Post tiếp đẩy topic lên tí

Bài 64. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2=0 & & \\
x+y^2+12\sqrt[3]{x^2y}=2010 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển 11 - Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2011-2012.

P/S: Chọn đội tuyển 30/4 mà không khó lắm

[Ispectorgadget]

Bài 65: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
30\sqrt {{x_1}} + 4\sqrt {{x_2}} = \sqrt[{2009}]{{{x_3}^{2008}}}\\
30\sqrt {{x_2}} + 4\sqrt {{x_3}} = \sqrt[{2009}]{{{x_4}^{2008}}}\\
............................\\
30\sqrt {{x_{2008}}} + 4\sqrt {{x_1}} = \sqrt[{2009}]{{{x_2}^{2008}}}
\end{array} \right.\]
Đề đề nghị 30/4 tỉnh Trà Vinh 2008

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-07-2012 - 12:10

[ninhxa]

Post tiếp đẩy topic lên tí

Bài 64. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2=0 & & \\
x+y^2+12\sqrt[3]{x^2y}=2010 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển 11 - Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2011-2012.

P/S: Chọn đội tuyển 30/4 mà không khó lắm

-Hix. Chắc bài này để tránh điểm liệt quá
-Hệ tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}x=\pm y \\ x+y^2+12y=2010 \end{matrix}\right.$
-Với $x=y$ thì $y^2+13y-2010=0$
-Với $x=-y$ thì $y^2+11y-2010=0$

p/s: Nghiệm lẻ quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 21-07-2012 - 16:10

[defaw]

Bài 65: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
30\sqrt {{x_1}} + 4\sqrt {{x_2}} = \sqrt[{2009}]{{{x_3}^{2008}}}\\
30\sqrt {{x_2}} + 4\sqrt {{x_3}} = \sqrt[{2009}]{{{x_4}^{2008}}}\\
............................\\
30\sqrt {{x_{2008}}} + 4\sqrt {{x_1}} = \sqrt[{2009}]{{{x_2}^{2008}}}
\end{array} \right.\]
Đề đề nghị 30/4 tỉnh Trà Vinh 2008

Em thử làm bài 65 xem thế nào vậy:
Giải: Giả sử $(x_{1},x_{2},...,x_{2008})$ là nghiệm của hệ phương trình. Do các số $x_{1},x_{2},...,x_{2008}$ có tính hoán vị vòng quanh, nên ta giả sử $x_{3}=max (x_{1},x_{2},...,x_{2008})$, từ hai phương trình đầu, $\Rightarrow x_{4}>x_{3}$, suy ra $x_{4}=x_{3}$. Làm tương tự với các phương trình sau, ta suy ra
$x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{2008}$
Hệ phương trình đã cho tường đương với:
$34\sqrt{x}=\sqrt[2009]{x^{2008}}\Leftrightarrow 34^{4018}\cdot x^{2009}=x^{4016}\Leftrightarrow x^{2009}\cdot (x^{2007}-34^{4018})=0$
$\Leftrightarrow$ $x=0$ hoặc $x=\sqrt[2007]{34^{4018}}$.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
$x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=0$ hoặc $x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=\sqrt[2007]{34^{4018}}$

[T M]

Em thử làm bài 65 xem thế nào vậy:

Mình nghĩ bạn sẽ đạt huy chương vàng IMO trong tương lai không xa, 12t mà bá đạo nhể =))=))

--------------------

Tiếp !

Bài 66. Giải phương trình

$$x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$

Đề thi HSG Đồng Tháp - Vòng 1 - 2011/2012

Bài 67. Giải phương trình

$$18x^8-8x^7-56x^6+16x^5+52x^4-8x^3-14x^2+x+1=0$$

Đề thi HSG Hưng Yên - 1997/1998

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 21-07-2012 - 17:32

[T M]

Tự sướng cái ! Lâu phết rồi không chém bài nào

Bài 66. Giải phương trình
$$x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$
Đề thi HSG Đồng Tháp - Vòng 1 - 2011/2012

Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm.

Xét $ x \neq 0$ biến đổi

$\text{PT} \Longleftrightarrow x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x} \Longrightarrow t^2+2t-3=0 \Longrightarrow t=1\\ \Longrightarrow x-\frac{1}{x}=1$

HSG gì mà đề còn bằng $1/2$ đại học thế này

--------------

P/S: Ai bá đạo giải câu 67 đê=))=))

[Didier]

Bài 68 Giải hệ pt:
$\begin{cases}
\left | y \right |=\left | x-3 \right |\\
(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y\\
x^{2}+z-4x=0
\end{cases}$

bạn ghi rõ đề của tỉnh nào, năm nào ra nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 21-07-2012 - 18:09

[Crystal]

Bài 68 Giải hệ pt:
$\begin{cases}
\left | y \right |=\left | x-3 \right |\\
(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y\\
x^{2}+z-4x=0
\end{cases}$

bạn ghi rõ đề của tỉnh nào, năm nào ra nhé

Bài này các bạn có thể tham khảo tại đây.

[T M]

Làm vài bài nữa nhỉ

Bài 69. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$$

Đề thi HSG Lạng Sơn Lớp 11 - 2011/2012

Bài 70. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}=1$$

Đề thi HSG Long An Lớp 12 - 2011/2012

---------------------------

Còn bài 67,59 nữa nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 21-07-2012 - 20:22

[minhdat881439]

Làm vài bài nữa nhỉ
Bài 69. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$$
Đề thi HSG Lạng Sơn Lớp 11 - 2011/2012
---------------------------

Pt 1 $\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}y+2x^{2}-2xy+x-y=0 \Leftrightarrow x^{2}(x-y)+2x(x-y)+(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(x+1)^{2}=0$$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y & \\ x=-1 & \end{bmatrix}$
+Thay x=y vào pt 2 $\Rightarrow 3x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
+x=-1$\Rightarrow y=-3$
Vậy...
p\s câu này dễ thở nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 21-07-2012 - 20:38

[davildark]

Em thử làm bài 65 xem thế nào vậy:
Giải: Giả sử $(x_{1},x_{2},...,x_{2008})$ là nghiệm của hệ phương trình. Do các số $x_{1},x_{2},...,x_{2008}$ có tính hoán vị vòng quanh, nên ta giả sử $x_{3}=max (x_{1},x_{2},...,x_{2008})$, từ hai phương trình đầu, $\Rightarrow x_{4}>x_{3}$, suy ra $x_{4}=x_{3}$. Làm tương tự với các phương trình sau, ta suy ra
$x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{2008}$
Hệ phương trình đã cho tường đương với:
$34\sqrt{x}=\sqrt[2009]{x^{2008}}\Leftrightarrow 34^{4018}\cdot x^{2009}=x^{4016}\Leftrightarrow x^{2009}\cdot (x^{2007}-34^{4018})=0$
$\Leftrightarrow$ $x=0$ hoặc $x=\sqrt[2007]{34^{4018}}$.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
$x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=0$ hoặc $x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=\sqrt[2007]{34^{4018}}$

Cho em hỏi làm sao chứng minh $x_{4}>x_{3}$ ai CM chi tiết cho em cái
Tks trước

[kainguyen]

Làm vài bài nữa nhỉ

Bài 69. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$$

Đề thi HSG Lạng Sơn Lớp 11 - 2011/2012

Bài 70. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}=1$$

Đề thi HSG Long An Lớp 12 - 2011/2012

---------------------------

Còn bài 67,59 nữa nhé

Bài 69:

$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^3+2x^2+x=y(x^2+2x+1)\\
2x^2+xy-5=0
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+1)^2(x-y)=0\\
2x^2+xy-5=0
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-1;y=-3\\
x=y=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}
\end{bmatrix}$

Bài 70:

$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}=1-x$

$\Leftrightarrow 3x=(1-x)\sqrt{x^2+1}$

$\Rightarrow 9x^2=(x^2-2x+1)(x^2+1)$

$\Leftrightarrow x^4-2x^3-7x^2-2x+1=0$

Với $x=0$ dễ thấy không là nghiệm của pt đã cho.

Với $x \ne 0$ ta chia 2 vế pt trên cho $x^2$ được:

$x^2-2x-7-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt: $x+\frac{1}{x}=t$ ta có: $t^2-2t-9=0$

Đến đây thì đơn giản rồi Giải ra nghiệm rồi thử lại thấy thỏa mãn hay không.

- Bài này còn 1 cách đặt đặt thế nào nữa ý, mình quên mất rồi cứ nông dân thế này chắc cũng được

PS: Tái xuất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 22-07-2012 - 09:31

[tranghieu95]

Oh, anh có thể share link cho em được không ? Sao em không thấy nhỉ :S

Đề chọn ĐTQG đó bn ạ
http://forum.mathsco...ead.php?t=24436