Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình sau: $\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \sqrt x } } } } = y$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
chanlonggiangthe

chanlonggiangthe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
Giải phương trình sau:
\[\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \sqrt x } } } } = y\]( có 2012 dấu căn, $x,y$ nguyên)

Dân Thanh Hóa ăn rau má phá đường tàu


#2
bastian schweinsteiger

bastian schweinsteiger

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
tông quát n số luôn đi

$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y$
với n dấu căn x, y nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 10:24


#3
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y$
với n dấu căn x, y nguyên

Giải bài toán tổng quát:
ĐKXĐ: $x\geq 0$; $y\geq 0$

Bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^2-x=a$ (với $a$ là số tự nhiên) ($VT$ có $n-1$ dấu căn)
Tiếp tục bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=a^2-x=b$ (với $b$ là số tự nhiên) ($VT$ có $n-2$ dấu căn)
Thực hiện các bước trên đến khi $PT$ có dạng:
$x+\sqrt{x}=k^2$
Vì $VP$ là số tự nhiên nên $\sqrt{x}$ phải là số chính phương
$PT\Leftrightarrow \sqrt{x}\left ( \sqrt{x}+1 \right )=k^2$
Ta có $\sqrt{x}$ và $\sqrt{x}+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp có tích là một số chính phương nên số nhỏ bằng 0 tức là $\sqrt{x}=0$ suy ra $x=0$, từ đó dẫn đến $y=0$.

Thích ngủ.


#4
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

nhận thấy x=y=0 là nghiem pt.
nếu x,y khác 0
thì x+căn(x) chính phương
đặt căn (x)=t^2
=>t^4-t^2 chính phương
<=>t^2(t^2-1)=t^2(t-1)(t+1)
không có tích (t-1)(t+1) chính phương
nên pt chỉ có nghiem x=y=0

Bạn nói không co tích $(t-1)(t+1)$ chính phương là không đúng nếu t=1 thì nó chính phương chỉ có điều bạn thay vào ra $x=0$ thì không thỏa điều kiện bạn đang xét

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#5
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Mình chứng minh luôn định lý đã sử dụng ở trên, định lý được phát biểu: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó bằng 0.
Chứng minh:
Giả sử: $a\left ( a+1 \right )=k^2$ $(1)$ với $a\in Z$, $k\in N$.
Giả sử $a\neq 0$ và $a+1\neq 0$ thì $k^2\neq 0$. Do $k\in N$ nên $k>0$.
Từ $(1)$ ta suy ra:
$$a^2+a=k^2$$
$$\Leftrightarrow 4a^2+4a+1=4k^2+1$$
$$\Leftrightarrow \left ( 2a+1 \right )^2=4k^2+1$$
Vì $k>0$ nên $4k^2<4k^2+1<4k^2+4k+1$ do đó suy ra: $\left ( 2k \right )^2<\left ( 2a+1 \right )^2<\left ( 2k+1 \right )^2$ (điều này không xảy ra).
Do đó ta có $Q.E.D$

Thích ngủ.


#6
bastian schweinsteiger

bastian schweinsteiger

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
chém luôn đây
ta thấy (x;y)=(0;0) là nghiệm của phương trình trên
nếu n=1 thì $\sqrt{x}=y\Rightarrow x=y^{2}(x\geq 0)$
vậy nghiệm (x;y) là $(t^{2};t)$ với $t\in N$
nếu n=2 thì $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\Rightarrow \sqrt{x}=y^{2}-x\Rightarrow \sqrt{x}$ là số tự nhiên
Đặt $\sqrt{x}=t(t\in N)\Rightarrow t(t+1)=y^{2}$
Vì $t^{2<}\leq t(t+1)< (t+1)^{2}\Rightarrow t^{2}\leq y^{2}< (t+1)^{2}\Rightarrow y^{2}=t^{2}\Rightarrow t=0$
phương trình có nghiệm (x;y)=(0;0)
nếu $n\geq 3$ ta có $\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}-x$ với n-1 dấu căn
đặt $y^{2}-x=y_{1}$ là số dương . tiếp tục làm như thế n-2 lần dẫn đến $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y_{n-2}^{2}-x$
ta trở lại trường hơp n=2vaf chỉ co nghiệm (x;y)=(0;0)

#7
o0o Math Lover o0o

o0o Math Lover o0o

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
mấy anh có thể giảng kĩ về cách làm và cách trình bày của bài dùm em được không :lol: :icon6: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

"Trên con đường đi đến thành công,


thì không có vết chân của kẻ làm biếng."



"Những thành quả đạt được trong tương lai,


là kết quả của việc học ngày hôm nay"


#8
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

mấy anh có thể giảng kĩ về cách làm và cách trình bày của bài dùm em được không :lol: :icon6: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

Mình đã giải chi tiết ở trên rồi đấy bạn.

Thích ngủ.


#9
o0o Math Lover o0o

o0o Math Lover o0o

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
em vẫn chưa hiểu về cách trình bày bài tập dạng này cho lắm nên xin phép cho em thêm ví dụ cụ thể như
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}$

$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{9}}}}}$

"Trên con đường đi đến thành công,


thì không có vết chân của kẻ làm biếng."



"Những thành quả đạt được trong tương lai,


là kết quả của việc học ngày hôm nay"


#10
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết

em vẫn chưa hiểu về cách trình bày bài tập dạng này cho lắm nên xin phép cho em thêm ví dụ cụ thể như
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}$

$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{9}}}}}$

Đề bài là gì vậy em,nếu là tính hay so sánh thì em coi ở đây
http://diendantoanho...-3/#entry339802
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh