Đến nội dung


Hình ảnh

CMR: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 duonghieu

duonghieu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 21:34

Cho $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng :
$$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 03:42


#2 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 21:50

Áp dụng bđt Holder:
$(a^4+b^4+c^4)^3.(1+1+1)\geq (a^3+b^3+c^3)^4 \geq (a^3+b^3+c^3)^3.\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$
$=3(a^3+b^3+c^3)^3$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 19-07-2012 - 22:15

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#3 haichau97

haichau97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 22:15

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

#4 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 19-07-2012 - 22:15

Nếu em chưa biết Holder em vẫn có thể dùng AM-GM
$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$
.... tương tự
Ta lại có $a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^4}{27}=3$
(a+b+c=3)
$\Rightarrow \sum 4a^4\geq \sum 3a^4+3\geq \sum 4a^3$
$\Rightarrow \sum a^4\geq \sum a^3$$\blacksquare$

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#5 linhlun97

linhlun97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trái Đất

Đã gửi 20-07-2012 - 00:10

ta dễ dàng cm được các bdt sau
$a^4+b^4\geq a^3b+ab^3$
$b^4+c^4\geq b^3c+bc^3$
$a^4+c^4\geq a^3c+ac^3$
cộng các bdt trên ta được
$2(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+a^4+b^3c+b^3a+b^4+c^3a+c^3b+c^4$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow (a^4+b^4+c^4)\geq (a^3+b^3+c^3)$

#6 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 20-07-2012 - 07:50

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Mình xin trích lại lời giải như sau :
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$
Chứng minh
Sử dụng BĐT AM- GM ta có
$(k-1)a^{k}+1=a^{k}+a^{k}+a^{k}+...+a^{k}+a^{k}+1\geq k\sqrt[k]{a^{k(k-1)}}=k.a^{k-1}$
Thay a bởi $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ rồi cộng các bđt lại ta được
$(k-1)(a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k})+n\geq k(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})$
Ta cần cm
$(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})\geq n$
Sử dụng bđt AM-GM
$a^{k-1}+(k-2)\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$
Thay a bởi $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ rồi cộng các bđt lại ta được
$(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})+n(k-2)\geq (k-1)(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}) =(k-1)n$
Suy ra dpcm
--------
Đối với bài này chỉ cần cm
$\sum a^{4}\geq \sum \left | a^{3} \right |\geq \sum a^{3}$
Ta có đpcm
------
:icon11:

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#7 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 20-07-2012 - 08:15

Bài toán này dùng $Chebyshev$ là nhanh nhất mà :P

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#8 milinh7a

milinh7a

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Quốc học Huế

Đã gửi 20-07-2012 - 08:42

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Lỡ a<0 thì sao $\sqrt[4]{x^{12}}= x^{3}$ được hả bạn?

#9 lamtran

lamtran

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-07-2012 - 11:05

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Mình nghĩ là chỗ in đỏ nên sửa lại như sau:
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4\sqrt[4]{a^{12}}=4\left | a^{3} \right |\geq 4a^{3}$ vì a không có điều kiện không âm.

#10 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 20-07-2012 - 11:36

Bài toán này dùng $Chebyshev$ là nhanh nhất mà :P

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c >0$
Suy ra $a^3 \geq b^3 \geq c^3$
Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai dãy cùng chiều ta được:
$\frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{3} \leq a^4+b^4+c^4$
Hay $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#11 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 20-07-2012 - 16:22

Thử biến đổi tương đương phát.

Cho $a+b+c=3$.
CMR: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Lời giải:
Ta chứng minh:$\sum {a^4 - a^3 } \ge \sum {a - 1} $ ( tương đương điều phải chứng minh )
Cái này tương đương:$ \Leftrightarrow \sum {\left( {a - 1} \right)^2 \left( {a^2 + a + 1} \right)} \ge 0$
Như vậy có điều phải chứng minh
-------------------

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$

Lời giải:
Điều phải chứng minh tương đương:

\[
\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i^k - a_i^{k - 1} } \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i^k - a_i^{k - 1} } \right)} \ge \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i - 1} \right)} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\left( {a_i - 1} \right)^2 .\sum\limits_{m = 0}^{k - 2} {a^m } } \right)} \ge 0
\]
Như vậy ta có điều phải chứng minh :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#12 haichau97

haichau97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 22-07-2012 - 22:29

Lỡ a<0 thì sao $\sqrt[4]{x^{12}}= x^{3}$ được hả bạn?

:hì ,mình nhầm $\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4\begin{vmatrix} a^{3} \end{vmatrix}\geq 4a^{3}$ (luôn đúng vì nếu $a<0 VT>0;VP<0$ ,nếu $a$ dương hiển nhiên đúng ^^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 03:44


#13 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 21:24

Cho $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng :
$$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$$

Dùng phương pháp tiếp tuyến,vừa đẹp,vừa tự nhiên
~~~like phát~~~

#14 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:07

Dùng phương pháp tiếp tuyến,vừa đẹp,vừa tự nhiên

phuong pháp tiếp tuyến ntn>??

#15 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:14

phuong pháp tiếp tuyến ntn>??

Khi nào rảnh tau bày cho :))
Cái đó cao hơn lớp 10(khó nói)
~~~like phát~~~

#16 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:15

Khi nào rảnh tau bày cho :))
Cái đó cao hơn lớp 10(khó nói)

cày bđt kĩ hè

#17 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:25

cày bđt kĩ hè

Hớ,tau cày đâu,tìm hiểu đấy chứ :icon13:
Cày kĩ thì ngu mấy phần khác mất :wub:
~~~like phát~~~

#18 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 27-09-2012 - 22:32

Còn một cách nữa dành cho các bạn THCS:
CodeCogsEqn (6).gif
Phần còn lại thì dễ rồi.

#19 kunkon2901

kunkon2901

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:-_-
  • Sở thích:toán học...

Đã gửi 14-07-2015 - 16:18

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Mình xin trích lại lời giải như sau :
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$
Chứng minh

Sử dụng bđt AM-GM
$a^{k-1}+(k-2)\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$

 

chỗ này là sao ạ



#20 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 14-07-2015 - 16:58

chỗ này là sao ạ

$a^{k-1}+(k-2)=a^{k-1}+1+..+1\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$ (BĐT AM-GM cho k-1 số; 1+...+1 gồm k-2 chữ số 1)

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 14-07-2015 - 17:01





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh