Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình: $\frac{25}{x^2}-\frac{49}{\left ( x-7 \right )^2}=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Urahara Kisuke

Urahara Kisuke

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Giải các phương trình sau:
1) $\frac{25}{x^2}-\frac{49}{\left ( x-7 \right )^2}=1$
2) $\frac{9}{4\left ( x+4 \right )^2}+1=\frac{8}{\left ( 2x+5 \right )^2}$
Có cách giải nào hay (đặc biệt) thì post lên luôn nhé, mình đang cần cái đấy ^^

#2
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Giải các phương trình sau:
1) $\frac{25}{x^2}-\frac{49}{\left ( x-7 \right )^2}=1$
2) $\frac{9}{4\left ( x+4 \right )^2}+1=\frac{8}{\left ( 2x+5 \right )^2}$
Có cách giải nào hay (đặc biệt) thì post lên luôn nhé, mình đang cần cái đấy ^^

Phương pháp đặc biệt thì tạm thời chưa nghĩ ra !
Chỉ có phương pháp hằng số biến thiên thôi !
(Phương pháp mình thấy ăn may nhất trên đời)
1) PT đã cho tương đương với:
$x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$
Đặt $a=\sqrt{74}$
PT đã cho tương đương với:
$x^4-14x^3+(147-a^2)x^2+(14a^2-686)x-49a^2+2401=0$
$\Leftrightarrow (-x^2+14x-49)a^2+x^4-14x^3+147x^2+2401-686x=0$
$\Leftrightarrow (x-7)^2a^2=(x^2-7x+49)^2$
$\Leftrightarrow a = \pm \frac{x^2-7x+49}{x-7}$
Suy ra $x^2+ax-7x+49-7a=0$ hoặc $x^2-ax-7x+49+7a=0$
Đến đây coi như đơn giản rồi nhỉ !
Nghiệm là:
$x_{1,2}=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73-14\sqrt{74}}}{2}$
$x_{3,4}=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73+14\sqrt{74}}}{2}$
b) Tương tự ta được phương trình đã cho tương đương với:
$1000x^2+2004x+1313+16x^4+208x^3=0$
Đặt $a=\sqrt{17}$
Suy ra phương trình đã cho tương đương với:
$16x^4+208x^3+(1068-4a^2)x^2+(2548-32a^2)x+2401-64a^2=0$
Suy ra $4x^2+2ax+26x+49+8a=0$ hoặc $4x^2-2ax+26x+49-8a=0$
______________________________
Đọc xong cái quyển phương trình giải bằng phương pháp này cũng đau hết đầu !

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#3
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Một tài liệu nhỏ cho ai chưa hiểu về phương pháp này . :)

File gửi kèm


ĐCG !

#4
Urahara Kisuke

Urahara Kisuke

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Một tài liệu nhỏ cho ai chưa hiểu về phương pháp này . :)

Cảm ơn bạn luxubuhl, nhưng trong tài liệu đa phần là $log$,... (kiến thức mình chưa học) nên mình chưa thể áp dụng ngay được, bạn có thể trình bày hai bài tập trên nhờ phương pháp đó được không?

#5
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Cảm ơn bạn luxubuhl, nhưng trong tài liệu đa phần là $log$,... (kiến thức mình chưa học) nên mình chưa thể áp dụng ngay được, bạn có thể trình bày hai bài tập trên nhờ phương pháp đó được không?

Thực ra phương pháp của nó là:
Đặt $a$ là một hằng số (thường đặt là căn của một số gì đó)
Biến đổi các hệ số của phương trình theo $a$ một cách hợp lý
________________________
VD như trong bài trên:
Đặt $a=\sqrt{74}$
$x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$
$\Leftrightarrow x^4-14x^3+(147-a^2)x^2+(14a^2-686)x-49a^2+2401=0$
________________________
Sau đó rút hết theo $a$, thành phương trình bậc hai ẩn $a$
Xét $\Delta$ (khi đó $\Delta$ luôn phải là một số chính phương)
Từ đó tìm được $x$ bằng việc thay $a$ vào
_______________________
Nói chung là phương pháp này rất vớ vẩn (nhưng lại rất hay), đặc biệt là những bài chưa biết trước nghiệm.
Vì thế mình mới bảo đây là cách ăn may nhất thế giới...

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6
Urahara Kisuke

Urahara Kisuke

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Thực ra phương pháp của nó là:
Đặt $a$ là một hằng số (thường đặt là căn của một số gì đó)
Biến đổi các hệ số của phương trình theo $a$ một cách hợp lý
________________________
VD như trong bài trên:
Đặt $a=\sqrt{74}$
$x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$
$\Leftrightarrow x^4-14x^3+(147-a^2)x^2+(14a^2-686)x-49a^2+2401=0$
________________________
Sau đó rút hết theo $a$, thành phương trình bậc hai ẩn $a$
Xét $\Delta$ (khi đó $\Delta$ luôn phải là một số chính phương)
Từ đó tìm được $x$ bằng việc thay $a$ vào
_______________________
Nói chung là phương pháp này rất vớ vẩn (nhưng lại rất hay), đặc biệt là những bài chưa biết trước nghiệm.
Vì thế mình mới bảo đây là cách ăn may nhất thế giới...

Thực ra đây chỉ là phương pháp làm của bạn mà thôi, phương pháp đấy thì đã tránh được việc đưa về phương trình bậc bốn rồi!

#7
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Thực ra đây chỉ là phương pháp làm của bạn mà thôi, phương pháp đấy thì đã tránh được việc đưa về phương trình bậc bốn rồi!

Phương pháp đặc biệt thì tạm thời chưa nghĩ ra !
Chỉ có phương pháp hằng số biến thiên thôi !
(Phương pháp mình thấy ăn may nhất trên đời)
1) PT đã cho tương đương với:
$x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$
Đặt $a=\sqrt{74}$
PT đã cho tương đương với:
$x^4-14x^3+(147-a^2)x^2+(14a^2-686)x-49a^2+2401=0$
$\Leftrightarrow (-x^2+14x-49)a^2+x^4-14x^3+147x^2+2401-686x=0$
$\Leftrightarrow (x-7)^2a^2=(x^2-7x+49)^2$
$\Leftrightarrow a = \pm \frac{x^2-7x+49}{x-7}$
Suy ra $x^2+ax-7x+49-7a=0$ hoặc $x^2-ax-7x+49+7a=0$
Đến đây coi như đơn giản rồi nhỉ !
Nghiệm là:
$x_{1,2}=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73-14\sqrt{74}}}{2}$
$x_{3,4}=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73+14\sqrt{74}}}{2}$
b) Tương tự ta được phương trình đã cho tương đương với:
$1000x^2+2004x+1313+16x^4+208x^3=0$
Đặt $a=\sqrt{17}$
Suy ra phương trình đã cho tương đương với:
$16x^4+208x^3+(1068-4a^2)x^2+(2548-32a^2)x+2401-64a^2=0$
Suy ra $4x^2+2ax+26x+49+8a=0$ hoặc $4x^2-2ax+26x+49-8a=0$
______________________________
Đọc xong cái quyển phương trình giải bằng phương pháp này cũng đau hết đầu !

Mình có một cách cũng khá hay(không biết có phải là phương pháp đặc biệt như bạn nói) bạn tham khảo thử(cách của nthoangcute khá trâu)
Bài 1:
DKXD: $x\neq 0;7$
Pt $<=> \frac{25}{x^2}=\frac{49}{(x-7)^2}+1<=>\frac{25}{x^2}=(\frac{7}{x-7}+1)^2-\frac{14}{x-7}$
$<=>\frac{25}{x^2}=(\frac{x}{x-7})^2-2.\frac{x}{x-7}.\frac{7}{x}<=>\frac{74}{x^2}=(\frac{x}{x-7}-\frac{7}{x})^2$
$<=>\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{74}}{x}=\frac{x}{x-7}-\frac{7}{x} \\ \frac{\sqrt{74}}{x}=\frac{7}{x}-\frac{x}{x-7} \end{bmatrix}$
Đến đây bạn giải từng trường hợp và do cả 2 trường hợp đều biến đổi ra phương trình bậc 2 nên có thể dễ dàng dùng $\Delta$ để giải.(Cách làm kia biến đổi ra phương trình bậc 4 khá khó và phức tạp để giải :P)
Bài 2):(Bài này tương tự bài trên nên mình cũng chỉ ép ra bình phương rồi bạn tự giải tiếp nhé ^^)
DKXD : $x\neq -4,\frac{-5}{2}$
Pt $<=>(1-\frac{3}{2(x+4)})^2+\frac{3}{x+4}=\frac{8}{(2x+5)^2}$
$<=>(\frac{2x+5}{2(x+4)})^2+2.\frac{2x+5}{2(x+4)}\frac{3}{2x+5}+\frac{9}{(2x+5)^2}=\frac{17}{(2x+5)^2}$
$<=>(\frac{2x+5}{2(x+4)}+\frac{3}{2x+5})^2=(\frac{\sqrt{17}}{2x+5})^2$
Đến đây cũng chỉ xét 2 trường hợp và quy đồng thành Pt bậc 2:
P/s: Mình nói sơ qua về mục đính cách làm.Nếu quy đồng lên ngay sẽ dẫn đến trường hợp PT bậc 4 và có nghiệm xấu và phải đặt ẩn a như bạn nthoangcute(Mình cũng không rõ về phương pháp này).Mặt khác,chúng ta thấy cả 2 Pt đều gồm toàn những biểu thức bậc 2 nên ta tìm cách thêm bớt và rút gọn,ép ra dạng bình phương $a^2=b^2$ cho thật đẹp và hợp lí.Đến đây,nhờ vào xét 2 trường hợp,chúng ta đã "giảm" được bậc của ẩn x để sau khi quy đồng,Pt trở thành Pt bậc 2 quá dễ giải và quen thuộc.

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#8
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Có cách giải nào hay (đặc biệt) thì post lên luôn nhé, mình đang cần cái đấy ^^

Thực ra cái mà tớ post lên đây chỉ là phần nháp thôi (ha ha !!!)
Lời giải chỉ vài dòng thôi:
1. $$\frac{25}{x^2}-\frac{49}{\left ( x-7 \right )^2}=1$$
$$\Leftrightarrow x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$$
$$\Leftrightarrow (x^2-(7+\sqrt{14})x+7\sqrt{74}+49)(x^2-(7- \sqrt{14})x-7\sqrt{74}+49)=0$$
$$\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73-14\sqrt{74}}}{2} \wedge \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{74}}{2} \pm \frac{\sqrt{-73+14\sqrt{74}}}{2}$$
2. $$\frac{9}{4\left ( x+4 \right )^2}+1=\frac{8}{\left ( 2x+5 \right )^2}=0$$
$$\Leftrightarrow 1000x^2+2004x+1313+16x^4+208x^3=0$$
$$\Leftrightarrow (4x^2+(2\sqrt{17}+26)x+49+8\sqrt{17})(4x^2-(2\sqrt{17}-26)x+49-8\sqrt{17})=0$$
$$\Leftrightarrow x=-\frac{13}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}-\frac{\sqrt{-10+6\sqrt{17}}}{4} \wedge -\frac{13}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{\sqrt{-10+6\sqrt{17}}}{4}$$
_________________________________
Do nhiều người tò mò sao phân tích thành nhân tử kinh thế mà chẳng lý luận gì nên đành làm đống nháp ở trên kia(#2) cho dễ hiểu !!!

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#9
Urahara Kisuke

Urahara Kisuke

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Nếu mình là một thầy giáo khi nhìn bài làm của bạn với bạn triethuynhmath thì mình sẽ đánh giá cao bài của bạn triethuynhmath hơn, ngay từ đầu yêu cầu của những bài toán là đưa về dạng đơn giản nhất có thể, nếu không thì khi giải hệ ta cứ rút thế chứ cần gì phương pháp? Và mục đích của mình ở đây là lời giải của bạn triethuynhmath.
Cách giải tổng quát cho dạng bài này là:
Cho phương trình: $x^2+\frac{a^2x^2}{\left ( x+a \right )^2}=b$
Giải như sau:
$$PT\Leftrightarrow \left [ x-\frac{ax}{\left ( x+a \right )} \right ]^2+2x.\frac{ax}{x+a}=b$$
$$\Leftrightarrow \left ( \frac{x^2}{x+a} \right )^2+2a.\frac{x^2}{x+a}+a^2=b+a^2$$
Đặt $y=\frac{x^2}{x+a}$ sau đó ta giải được phương trình bậc hai ẩn $y$ theo $x$.
Đó chính là mục đích của mình khi lập topic này, chứ nhìn cách giải của bạn nhìn là đã hoa mắt rồi chưa nói đến đúng sai @@




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh