CÁC ĐẲNG THỨC ĐẸP MẮT.
Chắc hẳn không ai là không biết đến đẳng thức đẹp đẽ của tam giác Pitago: $3^2 + 4^2 = 5^2$.
Đẳng thức này có 3 số hạng, mỗi số là bình phương của các số nguyên liên tiếp. Tuy nhiên các đẳng thức tương tự thì chưa hẳn ai cũng biết.
Ta bắt đầu với đẳng thức gồm 5 số hạng: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 (= 365)$.
Truyện kể rằng, Họa sỹ Bedinxki có vẽ bức tranh với tựa đề "trí lực", trong đó có một tấm bảng đen. Trên bảng có viết một đề toán:
$ frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365} = ? $
Ở phía dưới có nhiều học sinh đang chăm chú tính toán. Nếu biết được đẳng thức trên thì dễ thấy đáp số của đề toán là 2.
Bức tranh trên là vẽ về đề toán của giáo sư Latinski, người đã từ bỏ chức vụ và đời sống thành thị về dạy dỗ con cái, các trẻ em nghèo khó ở nông thôn. Tiến sỹ Cuchen người Mỹ đã rất khâm phục vị giáo sư tiểu học bỏ qua mọi danh lợi này. Qua các đẳng thức trên, ông tự hỏi rằng liệu có tìm được các đẳng thức tương tự hay không? Cụ thể là một đẳng thức gồm 7 số hạng là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp? Và ông đã tìm ra đẳng thức sau:
$ 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27 ^2 $
Phát hiện đó làm chính bản thân ông cũng thấy hết sức kỳ lạ, khiến ông tiếp tục nghiên cứu. Cuối cùng, ông cũng tìm ra quy luật của các đẳng thức. Nếu viết ra trên mỗi dòng thì sẽ được một hình tháp hết sức đẹp đẽ.
$ 3^2 + 4^2 = 5^2
10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2
21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2
36^2 + 37^2 + 38^2 + 39^2 + 40^2 = 41^2 + 42^2 + 43^2 + 44^2$
Quy luật của đẳng thức trên như sau: Gọi n là số số hạng ở vế phải, thì n + 1 là số số hạng ở vế trái, điều quan trọng là số tự nhiên đứng giữa là số nào? Tiến sỹ Cuchen đã tìm ra: đó là số 2n(n+1).
Ví dụ:
n = 1: 2n(n + 1) = 4;
n = 2: 2n(n + 1) = 12;
n = 3: 2n(n + 1) = 24;
n = 4: 2n(n + 1) = 40;...
Với n = 5, 2n(n + 1) = 60, ta có đẳng thức
$ 55^2 + 56^2 + 57^2 + 58^2 + 59^2 + 60^2 = 61^2 + 62^2 + 63^2 + 64^2 + 65^2. $
Thật ra bài toán này cũng không quá khó: Gọi $x^2$ là số hạng ở giữa. Áp dụng công thức quen thuộc:
$$\sum_{i=1}^n {i^2} =1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) $$
Ta có: Vế trái là:
$$(x-n)^2 + (x-n+1)^2 + ... + x^2 = \sum_{i=1}^{x_i^2} - \sum_{i=1}^{x_{n-1} i^2$$
Vế phải là:
$$ (x+1)^2 + ... + (x+n)^2 = \sum_{i=1}^{x + n} {i^2} - \sum_{i=1}^x i^2}$$
Do đó ta tìm $x$ theo $n$ để:
$$ \sum_{i=1}^{x + n} i^2+ \sum_{i=1}^{x-n-1} i^2 = 2\sum_{i=1}^x i^2$$
Áp dụng công thức trên, và rút gọn (dành cho bạn đọc), cuối cùng ta được:
$$2x.n^2+2xn-x^2 = 0$$
Suy ra $x = 2n(n + 1)$./.
----------------------
Note: Từ diễn đàn cũ.