Tổng của 100 số thực đã cho bằng 0. CMR: tồn tại ít nhất 99 cặp 2 số cố tổng không âm.
Tổng của 100 số thực đã cho bằng 0. CMR: tồn tại ít nhất 99 cặp 2 số cố tổng không âm.
Bắt đầu bởi ElenaIP97, 24-07-2012 - 16:46
#2
Đã gửi 25-07-2012 - 08:20
Không biết giải kiểu này đúng không, cứ chém bừa vậy
Gọi 100 số đó là $a_{1},a_{2},...,a_{100}$. WLOG: $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant ...\geqslant a_{100}$ <1>
Theo đề $\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}=0$ <2>
Giả sử $a_{1}+a_{51}<0$
$\Rightarrow$ $a_{50}+a_{100}$ $\leqslant$ $a_{49}+a_{99}$ $\leqslant$ ... $\leqslant$ $a_{1}+a_{51}$<0 (theo <1>)
$\Rightarrow$ $a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{1}+a_{51} \geqslant$ 0 <3>
Xét 2 trường hợp:
A/ $a_{1}+a_{100} \geqslant 0$ $\Rightarrow$ có 99 cặp 2 số có tổng không âm thỏa mãn đề:
$a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{100}\geqslant 0$
B/ $a_{1}+a_{100} < 0$. Tới đây giả sử tồn tại n $\epsilon$ {3,4,...,51} sao cho $a_{2}+a_{n}<0$:
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \leqslant a_{2}+a_{n} <0 $ (vì $n \leqslant 51$)
Ta có $a_{50}+a_{99}\leqslant a_{49}+a_{98}\leqslant ...a_{2}+a_{51}< 0$(theo <1>) và $a_{1}+a_{100}<0$
$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \geqslant 0$ <4>
Từ <3> ta được 50 cặp 2 số tổng không âm: $a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{51}\geqslant 0$
Từ <4> ta được 49 cặp 2 số tổng không âm: $a_{2}+a_{3}\geqslant a_{2}+a_{4}\geqslant ...a_{2}+a_{51}\geqslant 0$
Như vậy có ít nhất 99 cặp 2 số có tổng không âm
$\Rightarrow$ đpcm
Gọi 100 số đó là $a_{1},a_{2},...,a_{100}$. WLOG: $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant ...\geqslant a_{100}$ <1>
Theo đề $\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}=0$ <2>
Giả sử $a_{1}+a_{51}<0$
$\Rightarrow$ $a_{50}+a_{100}$ $\leqslant$ $a_{49}+a_{99}$ $\leqslant$ ... $\leqslant$ $a_{1}+a_{51}$<0 (theo <1>)
$\Rightarrow$ $a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{1}+a_{51} \geqslant$ 0 <3>
Xét 2 trường hợp:
A/ $a_{1}+a_{100} \geqslant 0$ $\Rightarrow$ có 99 cặp 2 số có tổng không âm thỏa mãn đề:
$a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{100}\geqslant 0$
B/ $a_{1}+a_{100} < 0$. Tới đây giả sử tồn tại n $\epsilon$ {3,4,...,51} sao cho $a_{2}+a_{n}<0$:
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \leqslant a_{2}+a_{n} <0 $ (vì $n \leqslant 51$)
Ta có $a_{50}+a_{99}\leqslant a_{49}+a_{98}\leqslant ...a_{2}+a_{51}< 0$(theo <1>) và $a_{1}+a_{100}<0$
$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \geqslant 0$ <4>
Từ <3> ta được 50 cặp 2 số tổng không âm: $a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{51}\geqslant 0$
Từ <4> ta được 49 cặp 2 số tổng không âm: $a_{2}+a_{3}\geqslant a_{2}+a_{4}\geqslant ...a_{2}+a_{51}\geqslant 0$
Như vậy có ít nhất 99 cặp 2 số có tổng không âm
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 25-07-2012 - 08:22
- perfectstrong, Tea Coffee, MoMo123 và 3 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh