Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
1) Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.
2) Tìm các số nguyên tố $x$, $y$ thỏa mãn phương trình:
$$\left [ \sqrt[3]{1} \right ]+\left [ \sqrt[3]{2} \right ]+...+\left [ \sqrt[3]{x^3-1} \right ]=y$$
trong đó vế trái có $x^3-1$ số hạng.

Thích ngủ.


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
Giải a:
Ta giả sử tồn tại $S=n^2+3n-38\vdots 7\Leftrightarrow n^2-4n+4\vdots 7\Leftrightarrow (n-2)^2\vdots 7\Leftrightarrow n-2\vdots 7\Rightarrow n=7k+2 (k\in \mathbb{N})$. Thay vào $S$ ban đầu, ta có:
$(7k+2)^2+3(7k+2)-38=49k^2+49k-28$ không $\vdots 49$.
Vậy không có $n\in \mathbb{N}$ để $S= n^2+3n-38\vdots 49$

#3
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Mình xin nêu ý chính lời giải bài 2/ :D . Nếu cần mình sẽ trình bày chi tiết
Theo định nghĩa phần nguyên ta có
n=$\left [ \sqrt[3]{n^3} \right ]=\left [ \sqrt[3]{n^3+1} \right ]=...=\left [ \sqrt[3]{(n+1)^3-1} \right ]$
Từ $n^3$ tới $(n+1)^3-1$ có số số hạng là: $(n+1)^3-1$-$n^3$+1=$3n^2+3n+1$<1>
$\Rightarrow$ ta tính được y theo cách tính tổng như ở <1>
$\left[\sqrt[3]{n^3}\right] + \left[\sqrt[3]{n^3+1}\right ] +...+ \left[\sqrt[3]{(n+1)^3-1}\right]$=(3$n^2$+3n+1)n
$\Rightarrow$
$\left [ \sqrt[3]{1} \right ]+\left [ \sqrt[3]{2} \right ]+...+\left [ \sqrt[3]{x^3-1} \right ]$
= $3*(1^3+2^3+...+(x-1)^3)$+$3*(1^2+2^2+...+(x-1)^2)$+3*(1+2+...+(x-1) <2>
(Lưu ý là cách tính tổng ở <1> khi áp dụng cho từng số n chạy từ 1 tới x-1 thì sẽ 'bao phủ' hết các số hạng)
Đến đây ta sẽ chứng minh các đẳng thức sau bằng quy nạp:
$1^3+2^3+...+n^3$=$(1+2+...+n)^2$ <3>
$1^2+2^2+...+n^2$=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ <4>
1+2+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ <5> sau đó thay luôn công thức ở <5> vào <3>
Chứng minh quy nạp dễ rồi,xin không trình bày ở đây
Tính tổng <2> dựa theo <3>,<4> và <5>: thay vào rồi nhóm lại ta sẽ được
y=$\frac{(x-1)(x)(3x^2+x)}{4}$=$\frac{(x-1)(3x+1)(x^2)}{4}$ <6>. Xét x lẻ ta được (x-1)(3x+1) $\vdots$ 4
$\Rightarrow$ y $\vdots$ $x^2$ vô lý, loại vì x,y $\epsilon$ P
Vậy x chẵn $\Rightarrow$ x=2. Thay vào <6> được y=7 (thỏa mãn đề)
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn phương trình là x=2,y=7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 25-07-2012 - 22:54


#4
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

1) Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.

-Cách phản chứng khác:
-Giả sử tồn tại n để $S\vdots 49$
$\rightarrow S\vdots 7$
$\rightarrow 4S\vdots 7$
$\rightarrow 4n^2+12n-152\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2-161\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 49$
$\rightarrow (2n+3)^2-161$ không chia hết cho 49
$\rightarrow 4S$ không chia hết cho 49 (mâu thuẫn)
$\rightarrow dpcm$

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh