Chủ đề này có 4 trả lời

[Mouse Porcupine]

Cho M là tập hợp có n phần tử. Chứng minh rằng:
$\sum \left | A\cap B \right |=n.4^{n-1}$



→Thầy em giải như sau nhưng em không hiểu lắm, mong các bác đọc lời giải xong giải thích giúp em .

M có 2^n tập hợp con→4^n cặp 2 tập hợp con (A;B) của M (Tính theo thứ tự)
→Có 4^(n-1) bộ {$(A;B);(\bar{A};B);(A;\bar{B}); (\bar{A}; \bar{B})$}
(Với $\bar{A}= C_{M(A)}$) (1)
nên $x\epsilon A hoặc x\epsilon \left | \bar{A} \right |$
Và $x\epsilon B hoặc x\epsilon \left | \bar{B} \right |$
→x chỉ thuộc 1 trong các tập hợp $A\cap B; \bar{A}\cap B; A\cap \bar{B}; \bar{A}\cap \bar{B}$
Mà các tập hợp $A\cap B; \bar{A}\cap B; A\cap \bar{B}; \bar{A}\cap \bar{B}$ không có phần tử chung
→M= $(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B})\cup (\bar{A}\cap \bar{B})$
→ $\left | M \right |=\left | A\cap B \right | + \left | \bar{A} \cap B\right | +\left | A\cap \bar{B} \right |+\left | \bar{A} \cap \bar{B}\right |$ (2)
Từ (1) và (2) →đpcm



-Tại sao lại là "Có 4^(n-1) bộ {$(A;B);(\bar{A};B);(A;\bar{B}); (\bar{A}; \bar{B})$}
(Với $\bar{A}= C_{M(A)}$) "
-Tại sao lại từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mouse Porcupine: 27-07-2012 - 16:37

[hxthanh]

Đọc mãi ... mới hiểu lời giải của thầy giáo em.
Thực ra không cần phải giải thích có bao nhiêu bộ $\left\{ (A;B);(\overline{A};B);(A;\overline{B}); (\overline{A}; \overline{B}) \right\} $

Từ chỗ $ \left| M \right|=\left| A\cap B\right| +\left| \overline A \cap B\right| +\left| A \cap \overline B\right| + \left| \overline A \cap \overline B\right| $

Lấy tổng $2$ vế chạy qua toàn bộ $4^n$ cặp $(A, B)$ ta được:

$4^n \left| M\right| =\sum \left|A\cap B\right|+\sum \left|\overline A \cap B\right|+\sum \left| A \cap \overline B\right|+\sum \left|\overline A \cap \overline B\right| = 4 \sum \left|A\cap B\right| $

$\Rightarrow n.4^n=4\sum\left|A\cap B\right|\Rightarrow \text{ Q.E.D}$

[Mouse Porcupine]

Đọc mãi ... mới hiểu lời giải của thầy giáo em.
Thực ra không cần phải giải thích có bao nhiêu bộ $\left\{ (A;B);(\overline{A};B);(A;\overline{B}); (\overline{A}; \overline{B}) \right\} $

Từ chỗ $ \left| M \right|=\left| A\cap B\right| +\left| \overline A \cap B\right| +\left| A \cap \overline B\right| + \left| \overline A \cap \overline B\right| $

Lấy tổng $2$ vế chạy qua toàn bộ $4^n$ cặp $(A, B)$ ta được:

$4^n \left| M\right| =\sum \left|A\cap B\right|+\sum \left|\overline A \cap B\right|+\sum \left| A \cap \overline B\right|+\sum \left|\overline A \cap \overline B\right| = 4 \sum \left|A\cap B\right| $

$\Rightarrow n.4^n=4\sum\left|A\cap B\right|\Rightarrow \text{ Q.E.D}$

=.=''. Em chả hiểu j cả =.=''.

Tại sao lại là $4\left |A \cap B \right |$

[hxthanh]

Là thế này: $A$ hay $\overline A$ thì đều thuộc tập các tập con của $M$ phải không nào?

Mỗi cặp $(A,B)$ hay $(A,\overline B)$ hay $(\overline A, B)$ hay $(\overline A, \overline B)$ đều thuộc tập hợp các cặp $(A,B)$ trong đó $A$ và $B$ là tập con của $M$

Tương tự như vậy

Mỗi tập $(A\cap B)$ hay $(A\cap\overline B)$ hay $(\overline A\cap B)$ hay $(\overline A\cap \overline B)$ đều thuộc tập hợp $ E = \{ (A\cap B)\;\;\big| A,B \subset M\}$ trong đó $A$ và $B$ là tập con của $M$

Khi lấy tổng qua tất cả các phần tử của $E$ thì rõ ràng số phần tử của $4$ "loại" tập hợp trên là như nhau và bằng $|E|$

[Mouse Porcupine]

Thanks ss, em đã hiểu