Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm 3 số tự nhiên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
l.kuzz.l

l.kuzz.l

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thoả mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.
Chúng ta không thể biết chính xác 100% việc sẽ xảy ra trong tương lai
Và đây là điều duy nhất ta có thể biết 100% trong tương lai


#2
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Đặt 3 số đó là a,b,c $\epsilon$ $Z^+$. WLOG: 1<a<b<c <1>
Theo đề ta có ab+1 $\vdots$ c;bc+1 $\vdots$ a;ca+1 $\vdots$ b
$\Rightarrow$ đặt M=$\frac{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}{abc}$ ta có M $\epsilon$ N
Phá ngoặc ta được M=abc+a+b+c+($\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$).
Do M $\epsilon$ N $\Rightarrow$ đặt P=$\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$ ta có P $\epsilon$ N
Từ <1> ta có $\frac{1}{abc}<\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ $\Rightarrow$ P<$\frac{4}{a}$ $\leq$ $\frac{4}{2}$=2 <2>
$\Rightarrow$ P=1 <3>. Mà theo <2> có P<$\frac{4}{a}$ $\Rightarrow$ a<4 <3>. Kết hợp với <1> có a $\epsilon$ {2;3}
Xét a=2 ta được $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}$=1 $\Rightarrow$ $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$
Lại chặn như ở <3> ta có $\frac{3}{b}$>$\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ b<6 $\Rightarrow$ b $\epsilon$ {3;4;5} (do b>a)
Xét b=3 thế vào được c=7;xét b=4 thế vào được c=4,5(loại),xét b=5 được c=$\frac{11}{3}$(loại)
Xét a=3 ta được b $\geq$ 4, c $\geq$ 5,abc $\geq$ 3*4*5=60 $\Rightarrow$ P $\leq$ $\frac{1}{60}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ <1
( mâu thuẫn với <3>,loại)
Như vậy bộ 3 số tự nhiên đó là {2;3;7} và các hoán vị.

#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thoả mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.

Bài này mình đã giải trên VMF một lần rồi, sau đây là lời giải khác
Giải như sau:
Nhận thấy $(ab+1)(bc+1)(ca+1) \vdots abc \Rightarrow abc.X+ab+bc+ca+1 \vdots abc \Rightarrow ab+bc+ca+1 \vdots abc$
Mà $ab+bc+ca+1\le 3abc$ do $a,b,c>1$
Nên suy ra $ab+bc+ca+1=abc,2abc,3abc$ đến đây sử dụng chặn là xong :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-07-2012 - 20:50





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh