Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 supper star

supper star

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 28-07-2012 - 10:14

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.

 



#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 24-02-2015 - 12:43

Với $y=1$ thì với mọi $x$ nguyên ta đều có $x^3+y^2\vdots (xy+1)$ nên phương trình đã cho có vô số nghiệm  :mellow:



#3 Duong Nhi

Duong Nhi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp.....Đồng Hới - Quảng Bình
  • Sở thích:Hình học, đọc truyện, nghe nhạc :D.....

Đã gửi 24-02-2015 - 15:19

Với $y=1$ thì với mọi $x$ nguyên ta đều có $x^3+y^2\vdots (xy+1)$ nên phương trình đã cho có vô số nghiệm  :mellow:

Với y=1 thì x có vô số nghiệm thôi chớ......... ??//????



#4 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 24-02-2015 - 16:46

Với $y=1$ thì với mọi $x$ nguyên ta đều có $x^3+y^2\vdots (xy+1)$ nên phương trình đã cho có vô số nghiệm  :mellow:

 

Với y=1 thì x có vô số nghiệm thôi chớ......... ??//????

Tìm tất cả các nghiệm :(

Mà thấy bài toán này hay ghê.

Mình sẽ ẩn các cmt chưa giải quyết các bài toán này vào h này hôm sau kẻo "lung tung".

Chờ mọi người giải quyết


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-02-2015 - 21:56

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.

 

Xét trường hợp $x=m$ ($m\in \mathbb{N}^*$, tùy ý)

Khi đó $x^3+y^2\ \vdots (xy+1)\Leftrightarrow y^2+m^3\ \vdots (my+1)\Leftrightarrow y^2-m^4y\ \vdots (my+1)$

$\Leftrightarrow y-m^4\ \vdots (my+1)\Leftrightarrow m^4-y=k(my+1)$ ($k\in \mathbb{N}^*$)

$\Leftrightarrow m^4-mky=k+y$ (chú ý vai trò có thể đổi chỗ cho nhau của $k$ và $y$)

$\Leftrightarrow y=\frac{m^4-k}{mk+1}$

Vì $y,k\in \mathbb{N}^*$ nên :

$a)$ Nếu $m\neq 1$, ta có :

   + $k=1\Rightarrow y=\frac{m^4-1}{m+1}$

   + $k=\frac{m^4-1}{m+1}\Rightarrow y=1$

$b)$ Nếu $m=1$, ta chỉ có $y=1$ (vì nghiệm $y=\frac{m^4-1}{m+1}=0\notin \mathbb{N}^*$)

 

Tóm lại, các số nguyên dương $x,y$ cần tìm có dạng :

$\left\{\begin{matrix}x=m \\ y=1 \end{matrix}\right.$

và

$\left\{\begin{matrix}x=m\ (m\neq 1)\\y=\frac{m^4-1}{m+1}\end{matrix}\right.$

(trong đó $m\in \mathbb{N}^*$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 26-02-2015 - 22:06

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh