Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.
#1
Đã gửi 28-07-2012 - 10:14
- bangbang1412, buiminhhieu, Nguyen Minh Hai và 14 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 24-02-2015 - 15:19
Với $y=1$ thì với mọi $x$ nguyên ta đều có $x^3+y^2\vdots (xy+1)$ nên phương trình đã cho có vô số nghiệm
Với y=1 thì x có vô số nghiệm thôi chớ......... ??//????
#4
Đã gửi 24-02-2015 - 16:46
Với $y=1$ thì với mọi $x$ nguyên ta đều có $x^3+y^2\vdots (xy+1)$ nên phương trình đã cho có vô số nghiệm
Với y=1 thì x có vô số nghiệm thôi chớ......... ??//????
Tìm tất cả các nghiệm
Mà thấy bài toán này hay ghê.
Mình sẽ ẩn các cmt chưa giải quyết các bài toán này vào h này hôm sau kẻo "lung tung".
Chờ mọi người giải quyết
- nhungvienkimcuong và Ann Vii thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#5
Đã gửi 26-02-2015 - 21:56
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.
Xét trường hợp $x=m$ ($m\in \mathbb{N}^*$, tùy ý)
Khi đó $x^3+y^2\ \vdots (xy+1)\Leftrightarrow y^2+m^3\ \vdots (my+1)\Leftrightarrow y^2-m^4y\ \vdots (my+1)$
$\Leftrightarrow y-m^4\ \vdots (my+1)\Leftrightarrow m^4-y=k(my+1)$ ($k\in \mathbb{N}^*$)
$\Leftrightarrow m^4-mky=k+y$ (chú ý vai trò có thể đổi chỗ cho nhau của $k$ và $y$)
$\Leftrightarrow y=\frac{m^4-k}{mk+1}$
Vì $y,k\in \mathbb{N}^*$ nên :
$a)$ Nếu $m\neq 1$, ta có :
+ $k=1\Rightarrow y=\frac{m^4-1}{m+1}$
+ $k=\frac{m^4-1}{m+1}\Rightarrow y=1$
$b)$ Nếu $m=1$, ta chỉ có $y=1$ (vì nghiệm $y=\frac{m^4-1}{m+1}=0\notin \mathbb{N}^*$)
Tóm lại, các số nguyên dương $x,y$ cần tìm có dạng :
$\left\{\begin{matrix}x=m \\ y=1 \end{matrix}\right.$
và
$\left\{\begin{matrix}x=m\ (m\neq 1)\\y=\frac{m^4-1}{m+1}\end{matrix}\right.$
(trong đó $m\in \mathbb{N}^*$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 26-02-2015 - 22:06
- hoanglong2k, yeutoanmaimai1 và nhungvienkimcuong thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh