Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $n^{5}+n^{4}+1$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supper star

supper star

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $n^{5}+n^{4}+1$ là số chính phương.

Chú ý:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-07-2012 - 11:25


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
Giải: $n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)$
Ta thấy với $n=1$ thì không thỏa mãn, xét với $n\geq 2$, ta có: $n^3-n+1\geq n^2+n+1$, nên $n^3-n+1\vdots n^2+n+1$
Gọi $(n^2+n+1;n^3-n+1)=d$, ta có: $\begin{cases} n^2+2n-1\vdots d \\ n^2+n+1\vdots d \end{cases}\Rightarrow n-2\vdots d$
$\Rightarrow \begin{cases} n-2\vdots d \\ n^3-n+1\vdots d \end{cases}\Rightarrow 7\vdots d$
TH1: $d=1$ thì $n^2+n+1=1\Leftrightarrow n=0$, không thỏa mãn, hoặc mỗi số là số chính phương, không thỏa mãn.
TH2: $d=7$ thì $n^2+n+1\vdots 7\Rightarrow n\equiv 2,4 \mod 7$
Nếu $n\equiv 4 \mod 7$ thì $n^3-n+1\not\equiv 0 \mod 7$
Nếu $n\equiv 2 \mod 7$ thì thay $n=7k+2, k\in \mathbb{N}$ vào $n^2+n+1=49k^2+35k+7=7(7k^2+5k+1)$ và $n^3-n+1=343k^3+294k^2+77k+7$
, do đó $49k^3+42k^2+11k+1\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow 49k^3+42k^2+11k+1-(7k^2+5k+1)\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow k(49k^2+35k+6)\vdots 7k^2+5k+1$
Bởi vì $(k;7k^2+5k+1)=1$, nên $49k^2+35k+6\vdots 7k^2+5k+1\Leftrightarrow 49k^2+35k+6-7(7k^2+5k+1)\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow 1\vdots 7k^2+5k+1$
Từ đây chỉ xảy ra $k=0$, khi đó $n=2$, thỏa mãn.
Vậy số nguyên dương cần tìm là $n=2$.

#3
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Bài bạn chrome 98 có vẻ trục trặc ở đoạn màu đỏ thì phải

Giải: $n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)$
Ta thấy với $n=1$ thì không thỏa mãn, xét với $n\geq 2$, ta có: $n^3-n+1\geq n^2+n+1$, nên $n^3-n+1\vdots n^2+n+1$
Gọi $(n^2+n+1;n^3-n+1)=d$, ta có: $\begin{cases} n^2+2n-1\vdots d \\ n^2+n+1\vdots d \end{cases}\Rightarrow n-2\vdots d$
$\Rightarrow \begin{cases} n-2\vdots d \\ n^3-n+1\vdots d \end{cases}\Rightarrow 7\vdots d$
TH1: $d=1$ thì $n^2+n+1=1\Leftrightarrow n=0$, không thỏa mãn, hoặc mỗi số là số chính phương, không thỏa mãn.
TH2: $d=7$ thì $n^2+n+1\vdots 7\Rightarrow n\equiv 2,4 \mod 7$
Nếu $n\equiv 4 \mod 7$ thì $n^3-n+1\not\equiv 0 \mod 7$
Nếu $n\equiv 2 \mod 7$ thì thay $n=7k+2, k\in \mathbb{N}$ vào $n^2+n+1=49k^2+35k+7=7(7k^2+5k+1)$ và $n^3-n+1=343k^3+294k^2+77k+7$
, do đó $49k^3+42k^2+11k+1\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow 49k^3+42k^2+11k+1-(7k^2+5k+1)\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow k(49k^2+35k+6)\vdots 7k^2+5k+1$
Bởi vì $(k;7k^2+5k+1)=1$, nên $49k^2+35k+6\vdots 7k^2+5k+1\Leftrightarrow 49k^2+35k+6-7(7k^2+5k+1)\vdots 7k^2+5k+1$
$\Leftrightarrow 1\vdots 7k^2+5k+1$
Từ đây chỉ xảy ra $k=0$, khi đó $n=2$, thỏa mãn.
Vậy số nguyên dương cần tìm là $n=2$.

chỗ đó mình nghĩ chỉ có thể suy ra $49k^3+42k^2+11k+1$ và $7k^2+5k+1$ nguyên tố cùng nhau mà thôi
(như đoạn màu xanh) và từ đó suy ra 2 số này đều là số chính phương
Thế thôi,mọi người cố gắng tiếp tục phần còn lại của bài này :D




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh