CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.
CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.
Bắt đầu bởi Beautifulsunrise, 28-07-2012 - 16:00
#1
Đã gửi 28-07-2012 - 16:00
- E. Galois, Tham Lang và Stephen Hawking thích
#2
Đã gửi 28-07-2012 - 17:52
$$(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$$
$$\Leftrightarrow sin^2x+(a+b)sinxcosx+abcos^2x \leq 1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2, \ \ \ (1)$$
Dễ thấy, khi $cosx = 0$, BĐT hiển nhiên đúng.
Khi $cosx \neq 0$ ta có
$$(1)\Leftrightarrow tan^2x+(a+b)tanx+ab \leq \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+tan^2x \right )$$
Đặt $t=tanx$, BĐT đang xét trở thành:
$$t^2+(a+b)t + ab - \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+t^2 \right ) \leq 0$$
$$\Leftrightarrow -\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 t^2+(a+b)t + ab - 1 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 \leq 0, \ \ (2)$$
*) Nếu $a+b=0$, (2) hiển nhiên đúng.
*) Nếu $a+b \neq 0$, thì đặt $f(t)$ là vế trái $(2)$, ta có:
$$f(t) \leq f\left ( \frac{2}{a+b} \right ) = -\left (\frac{a-b}{2} \right )^2 \leq 0$$
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b \neq 0$ và $tanx = \frac{2}{a+b}$
$$\Leftrightarrow sin^2x+(a+b)sinxcosx+abcos^2x \leq 1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2, \ \ \ (1)$$
Dễ thấy, khi $cosx = 0$, BĐT hiển nhiên đúng.
Khi $cosx \neq 0$ ta có
$$(1)\Leftrightarrow tan^2x+(a+b)tanx+ab \leq \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+tan^2x \right )$$
Đặt $t=tanx$, BĐT đang xét trở thành:
$$t^2+(a+b)t + ab - \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+t^2 \right ) \leq 0$$
$$\Leftrightarrow -\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 t^2+(a+b)t + ab - 1 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 \leq 0, \ \ (2)$$
*) Nếu $a+b=0$, (2) hiển nhiên đúng.
*) Nếu $a+b \neq 0$, thì đặt $f(t)$ là vế trái $(2)$, ta có:
$$f(t) \leq f\left ( \frac{2}{a+b} \right ) = -\left (\frac{a-b}{2} \right )^2 \leq 0$$
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b \neq 0$ và $tanx = \frac{2}{a+b}$
- keichan_299, Beautifulsunrise và Stephen Hawking thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#3
Đã gửi 28-07-2012 - 18:07
Cách 2.CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.
Biến đổi tương đương, cần chứng minh :
$$2\left [(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x}\right ] \le a^2+b^2+2$$
Sử dụng CS, ta có :
$$(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x} \le \sqrt{(a+b)^2+(ab-1)^2}=\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$2\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}\le a^2+b^2+2$$
$$\Leftrightarrow 4\left (a^2+b^2+a^2b^2+1\right ) \le a^4+b^4+2a^2b^2+4\left (a^2+b^2\right )+4$$
$$\Leftrightarrow \left (a^2-b^2\right )^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng.BĐT đã được chứng minh.
- E. Galois, keichan_299 và Beautifulsunrise thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh