Đến nội dung

Hình ảnh

$xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng : $$\sum \dfrac{x^3}{1-4xy^2z} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{5}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Stephen Hawking

Stephen Hawking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
Bài toán
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^3}{1-4xy^2z}+\dfrac{y^3}{1-4xyz^2}+\dfrac{z^3}{1-4x^2yz} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{5}$$

#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Sử dụng bổ đề quen thuộc sau: $\frac{x^3}{a}+\frac{y^3}{b}+\frac{z^3}{c}\ge \frac{(x+y+z)^3}{3.(a+b+c)}$
Áp dụng ta có: $$LHS\ge \frac{(x+y+z)^3}{3(3-4xyz(x+y+z))}$$
Ta quy về chứng minh $$3(3-4xyz(x+y+z))\leq 5\Leftrightarrow 3xyz(x+y+z)\leq 1=(xy+xz+yz)^2$$
Điều này đúng do đó ta có đpcm. $\blacksquare$

Nguọc dấu chổ này rồi a oi
Ta quy về chứng minh $$3(3-4xyz(x+y+z))\leq 5\Leftrightarrow 3xyz(x+y+z)\leq 1=(xy+xz+yz)^2$$
____
So ri nhầm dấu =P~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-07-2012 - 10:48





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh