Bài toán :
Cho $a, b$ là các số thực không âm. $n \in N$. Chứng minh rằng :
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$
Bắt đầu bởi Stephen Hawking, 29-07-2012 - 10:10
#1
Đã gửi 29-07-2012 - 10:10
#2
Đã gửi 29-07-2012 - 13:40
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$ (*)
$a=b$ (*) luôn đúng
$a\neq b$
gs $a>b$
CM (*) <=> CM $(n+1)(a^{n+1}+b^{n+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{n+1}-b^{n+1}) (1)$
$n\in \left \{ 0;1 \right \} \rightarrow (1)$ đúng
gs (1) đúng đến $n=k-1$ hay $(k)(a^{k}+b^{k}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k}-b^{k}) $
ta sẽ c/m $(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k-1}) $
sd AM-GM dễ dàng c/m đc
$\frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})(a^k-b^k)}{k(a^k+b^k)(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq 1$
$\Rightarrow \frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})}{\frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq \frac{k(a^k+b^k)}{\frac{a+b}{a-b}(a^k-b^k)}\geq 1$
(1) đc c/m $\rightarrow $ (*) đc c/m
- WhjteShadow yêu thích
fx(Mr.SS+MrsTH)tm(Mr.SS+Mrs.HH)a2(Mrs.TH+Mrs.TH)
:x MY EVANGELINE :">
!!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh