Những bài tô đỏ là những bài đã cập nhật lời giải.
Bài 1:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng 3.CMR
\[\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Bài 2:
Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+bc}}\leq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Bài 3:
Cho $x_1$, $x_2$, $x_3$,..., $x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng:
$$x_1\left ( 1-x_2 \right )+x_2\left ( 1-x_3 \right )+....+x_{n-1}\left ( 1-x_n \right )+x_n\left ( 1-x_1 \right )\leq \left [ \frac{n}{2} \right ]$$
Bài 4:
Cho $a,b,c\geq 0$và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$$ \frac{a^{2}b}{1+a+b}+\frac{b^{2}c}{1+b+c}+\frac{c^{2}a}{1+c+a}\leq 1$$
Bài 5:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b+\dfrac{(c-a)^2}{4}}+\sqrt{c+\dfrac{(a-b)^2}{4}}\le \sqrt{3}+\left (1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )\left (|a-b|+|b-c|+|c-a|\right )$$
Bài 6:
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mản $a+b+c=3$. Chứng minh:
\[\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\ge \frac{9}{10}\]
Bài 7:
Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:
\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]
Bài 8:
Cho các số thực không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (ab+\dfrac{c}{a+b}\right )\left (bc+\dfrac{a}{b+c}\right )\left (ca+\dfrac{b}{c+a}\right )\le \dfrac{1}{4}$$
Bài 9:
Cho $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=0,y_1+y_2+y_3=0$. CMR
\[\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\frac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+\frac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\frac32.\]
Bài 10:
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho $a \le b \le c$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
Bài 11:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng $$(a^2+2bc)^{2012}+(b^2+2ca)^{2012}+(c^2+2ab)^{2012}\le (a^2+b^2+c^2)^{2012}+2(ab+bc+ca)^{2012}.$$
Bài 12:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{\sqrt{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (c^2+ca+a^2\right )\left (a^2+ab+b^2\right )}}\ge 4+\dfrac{8}{\sqrt{3}}$$
Bài 13:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 14:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 15:
Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 $$
Bài 16:
Cho hàm số $f(x) = a_1sinx + a_2sin2x + ... + a_nsinnx$. Chứng minh rằng:
Nếu $|f(x)| \leq |sinx|$ ; với mọi $x \in [-1;1]$ thì $| a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... +na_n | \leq 1.$
Bài 17:
Cho $a,b,c$ là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh
$$\dfrac1{\sqrt{(1+a+b^2)(1+b+c^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+b+c^2)(1+c+a^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+c+a^2)(1+a+b^2)}}\le 1$$
Bài 18:
Cho $a,b,c>0$. CMR
$$ \sum \dfrac{b+c}{2a^2+bc} \ge \dfrac{6}{a+b+c} $$
Bài 19:
Cho $a^2+b^2+c^2=2$. CMR
$$a^3+b^3+c^3-abc \le 2 \sqrt{2}$$
Bài 20:
Cho $x,y,x\geq \sqrt{3}.$ $x+y+z=6.$ Tìm min:
$$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}).$$
Bài 21:
Cho các số nguyên $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn :
$$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}\ \in Z \\ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \in Z \end{array}\right.$$
Chứng minh rằng :
$$P = \dfrac{3a^4}{b^2} + \dfrac{2b^4}{c^2} + \dfrac{c^4}{a^2} - 4|a| - 3|b| - 2|c| \ge 0$$
Bài 22:
Cho a,b,c,d là các số thực dương sao cho $a\geq b\geq c\geq d$ . Chứng minh rằng:
$$\frac{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq (\frac{3}{2})^4$$
Bài 23:
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x) \neq 0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$
Bài 24:
Cho các số dương $x_1, x_2, x_3$ và các số $y_1, y_2, y_3$ thỏa mãn hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ y_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \end{array} \right.$$
Trong đó $a_{ij} > 0$ thỏa $$\left\{\begin{array}{1}a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 1 (i = 1,2,3) \\a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} = 1 (j = 1, 2, 3) \end{array} \right.$$
Chứng minh rằng :
$$x_1x_2x_3 \le y_1y_2y_3$$
Bài 25:
Cho biết $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :
$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 10:11