Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Những bài bất đẳng thức chưa có lời giải

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-07-2012 - 21:04

Các bạn bấm vào từng link để thảo luận. Những bài đã x0ng hãy thông báo ở topic này. Những thông báo cũ sẽ được xóa và topic được cập nhật liên tục :)

Những bài tô đỏ là những bài đã cập nhật lời giải.

Bài 1:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng 3.CMR
\[\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Bài 2:
Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+bc}}\leq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Bài 3:
Cho $x_1$, $x_2$, $x_3$,..., $x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng:
$$x_1\left ( 1-x_2 \right )+x_2\left ( 1-x_3 \right )+....+x_{n-1}\left ( 1-x_n \right )+x_n\left ( 1-x_1 \right )\leq \left [ \frac{n}{2} \right ]$$
Bài 4:
Cho $a,b,c\geq 0$và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$$ \frac{a^{2}b}{1+a+b}+\frac{b^{2}c}{1+b+c}+\frac{c^{2}a}{1+c+a}\leq 1$$
Bài 5:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b+\dfrac{(c-a)^2}{4}}+\sqrt{c+\dfrac{(a-b)^2}{4}}\le \sqrt{3}+\left (1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )\left (|a-b|+|b-c|+|c-a|\right )$$
Bài 6:
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mản $a+b+c=3$. Chứng minh:
\[\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\ge \frac{9}{10}\]
Bài 7:
Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:
\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]
Bài 8:
Cho các số thực không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (ab+\dfrac{c}{a+b}\right )\left (bc+\dfrac{a}{b+c}\right )\left (ca+\dfrac{b}{c+a}\right )\le \dfrac{1}{4}$$
Bài 9:
Cho $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=0,y_1+y_2+y_3=0$. CMR
\[\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\frac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+\frac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\frac32.\]
Bài 10:
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho $a \le b \le c$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
Bài 11:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng $$(a^2+2bc)^{2012}+(b^2+2ca)^{2012}+(c^2+2ab)^{2012}\le (a^2+b^2+c^2)^{2012}+2(ab+bc+ca)^{2012}.$$
Bài 12:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{\sqrt{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (c^2+ca+a^2\right )\left (a^2+ab+b^2\right )}}\ge 4+\dfrac{8}{\sqrt{3}}$$
Bài 13:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 14:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 15:
Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 $$
Bài 16:
Cho hàm số $f(x) = a_1sinx + a_2sin2x + ... + a_nsinnx$. Chứng minh rằng:
Nếu $|f(x)| \leq |sinx|$ ; với mọi $x \in [-1;1]$ thì $| a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... +na_n | \leq 1.$
Bài 17:
Cho $a,b,c$ là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh
$$\dfrac1{\sqrt{(1+a+b^2)(1+b+c^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+b+c^2)(1+c+a^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+c+a^2)(1+a+b^2)}}\le 1$$
Bài 18:
Cho $a,b,c>0$. CMR
$$ \sum \dfrac{b+c}{2a^2+bc} \ge \dfrac{6}{a+b+c} $$
Bài 19:
Cho $a^2+b^2+c^2=2$. CMR
$$a^3+b^3+c^3-abc \le 2 \sqrt{2}$$
Bài 20:
Cho $x,y,x\geq \sqrt{3}.$ $x+y+z=6.$ Tìm min:
$$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}).$$
Bài 21:
Cho các số nguyên $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn :
$$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}\ \in Z \\ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \in Z \end{array}\right.$$
Chứng minh rằng :
$$P = \dfrac{3a^4}{b^2} + \dfrac{2b^4}{c^2} + \dfrac{c^4}{a^2} - 4|a| - 3|b| - 2|c| \ge 0$$
Bài 22:
Cho a,b,c,d là các số thực dương sao cho $a\geq b\geq c\geq d$ . Chứng minh rằng:
$$\frac{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq (\frac{3}{2})^4$$
Bài 23:
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x) \neq 0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$
Bài 24:
Cho các số dương $x_1, x_2, x_3$ và các số $y_1, y_2, y_3$ thỏa mãn hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ y_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \end{array} \right.$$
Trong đó $a_{ij} > 0$ thỏa $$\left\{\begin{array}{1}a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 1 (i = 1,2,3) \\a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} = 1 (j = 1, 2, 3) \end{array} \right.$$
Chứng minh rằng :
$$x_1x_2x_3 \le y_1y_2y_3$$
Bài 25:
Cho biết $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :
$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 10:11

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 29-07-2012 - 21:05

Bài 26:
Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{\sqrt{4a + 5b^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{4b + 5c^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{4c + 5a^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$
Bài 27:
Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$
Bài 28:
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC $cố định.
Bộ $a, b, c, x, y, z$ $(x, y, z \ge 0)$ thoả mãn $ax + by + cz = 2RS_{ABC}$
Tìm max của :
$$A = ayz + bxz + cxy$$
Bài 29:
Cho các số không âm $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b + c}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c + a}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a + b}} \ge 2\sqrt{\dfrac{abc}{(a + b)(b + c)(c + a)} + 1}$$
Bài 30:
Chứng minh rằng trong đa giác, tồn tại 2 cạnh $a, b$ sao cho :
$$1 \le \dfrac{b}{a} < 2$$
Bài 31:
Cho $a,b>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2 \ge \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$$
Bài 32:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn:$a^3+b^5 \le a^2+b^2$.Chứng minh rằng:
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le \frac{1}{2}$$
Bài 33:
Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn :$a + b + c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a + b}{c + 1}} + \sqrt{\dfrac{b + c}{a + 1}} + \sqrt{\dfrac{c + a}{b + 1}} \ge 3$$
Bài 34:
Cho $a,b,c,\alpha \in (0;1]$.Chứng minh rằng:
$$\frac{(x-1)^2}{x^{\alpha.y+(1-\alpha)z}}+\frac{(y-1)^2}{y^{\alpha.z+(1-\alpha)x}}+\frac{(z-1)^2}{z^{\alpha.x+(1-\alpha)y}} \ge \sum x^{2012}-\sum xy(x^{2011}+y^{2011})+xyz(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011})$$
Bài 35:
Cho $0 \leq a \leq 1, a \in \mathbb{R}$, $n$ là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 4. Chứng minh:
$$ \left( \frac{1}{2}+ \frac{\sin\left[ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4n} \right) \pi \right]}{2\sin\left( \frac{\pi}{4n} \right)} \right)^a \leq 1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} {\frac{1}{k} \left( k\cos\left( \frac{k\pi}{2n} \right) \right)^a} $$
Bài 36:
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x + y + z = 1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{y^2 + z} + \dfrac{y}{z^2 + x} + \dfrac{z}{x^2 + y} \ge \dfrac{9}{4}$$
Bài 37:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không, thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{5a^2}{2a^2+3}+\frac{5b^2}{2b^2+3}+\frac{5c^2}{2c^2+3}+\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq 4$$
Bài 38:
Cho $ a , b , c , d$ không âm thoả mãn: $ a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{a +b + c^2}+ \sqrt{b +c + d^2}+ \sqrt{c +d + a^2}+ \sqrt{d +a + b^2} \ge 3$$
Bài 39:
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}\geq 10\]
Bài 40:
Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Bài 41:
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh \[\dfrac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2+ac+bc}+\dfrac{bc(b^2+c^2)}{b^2+c^2+ba+ca}+\dfrac{ca(c^2+a^2)}{c^2+a^2+cb+ab}\le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\]
Bài 42:
Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:
$$8{\left( {\sum x } \right)^3}xyz{\prod {\left( {x + y} \right)} ^2} \ge {\left( {\sum {{{\left( {x + y} \right)}^2}} } \right)^3}\prod {\left( {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) - 2yz} \right)} $$
Bài 43:
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $a+b+c+abc=0$
TÌm min, max của: $$P= \dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$$
Bài 44:
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong mặt phẳng tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:
$$\dfrac{{MA.MB}}{{CA.CB}} + \dfrac{{MB.MC}}{{AB.AC}} + \dfrac{{MC.MA}}{{BC.BA}} \ge 1.$$
Bài 45:
Cho $a,b,c>0;k \ge 1$. Chứng minh rằng:
$$(b^2a+c^2b-a^2c)(a^2c+c^2b-b^2a)(a^2c+b^2a-c^2b)[8(a^2c+b^2a+c^2b)+3abc] \le 3^{\dfrac{3}{k}}.(abc)^{3+\dfrac{1}{k}}$$
Bài 46:
Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa $xyz=x+y+z+2$.Chứng minh rằng:
$$\left(\underset{cyc}{\sum}\dfrac{x^2y^2}{y+z} \right)\left[\underset{sym}{\sum}\dfrac{1}{(a+b)^2} \right] \ge \dfrac{9(x+y+z+6)}{4[2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)]}$$
Bài 47:
Cho $\cos{\dfrac{5A}{2}}+\cos{\dfrac{5B}{2}}+\cos{\dfrac{5C}{2}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Hãy nhận dạng tam giác $ABC$
Bài 48:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
$$a^{n}.b(b-c) + b^{n}.c(b-c) + c^{n}.a(c-a) \geq 0$$
Bài 49:
Cho trước số nguyên dương $n$ và $n$ số thực : $ a_1 ; a_2 ; ...; a_n$
Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức :
$$ \prod_{i=1}^{n} \left( a^4_i -a_i + n \right) \ge n^{n-3} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^3$$
Bài 50:
Cho $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ thỏa mãn hệ BPT sau:
$$ \begin{cases} x_1-x_2+x_3-x_4+x_5>0 \\ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5>0 \\ -x_1+x_2+x_3-x_4+x_5>0 \\ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5>0 \\ -x_1+x_2-x_3+x_4+x_5>0 \end{cases}$$
Tìm giá trị lớn nhất của $$(x_1+x_3)^{x_2+x_4}$ nếu biết rằng $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=100.$$ Có bao nhiêu bộ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ tương ứng với giá trị lớn nhất vừa tìm được
Bài 51:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^{a^2}b^{b^2}c^{c^2}}{3\sqrt{3}} \ge a^{b^2+1}b^{c^2+1}c^{a^2+1}$$
Bài 52:
Cho $a,b,c>0$. CM:
$$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}$$
Bài 53:
Cho $a,b,c>0$. CMR:
$${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^2} + {(\dfrac{b}{c})^2} + {(\dfrac{c}{a})^2} + \dfrac{{10(ab + bc + ca)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge 13$$
Bài 54:
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng
$$a^{12}\sqrt[3]{(a^{18}+26b^{9}c^{9})^2}+b^{12}\sqrt{(b^{18}+26a^{9}c^{9})^{2}}+c^{12}\sqrt[3]{(c^{18}+26a^{9}b^{9})^{2}}\leq (a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}$$
Bài 55:
Cho các số thực : $ x_1 ; x_2 ; .... ; x_n $ thoả mãn : $ x_1 \ge x_2 \ge ... \ge x_n \ge 0$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$ \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \dfrac{ x^2_k + x^2_{k+1} + ... + x^2_n}{k}} \le \dfrac{\pi}{2} \sum_{k=1}^{n} x_k $$
Bài 56:
Cho trước số thực dương $k$ ; $4$ biến $a ; b ; c ; d $ thay đổi thoả mãn $ a\ge b\ge c\ge d\ge 0 $ và $ a+b+c+d = 1 $ ; tìm số thực $ \lambda$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng :
$$ \dfrac{a-b}{k+c+d}+\dfrac{b-c}{k+d+a}+\dfrac{c-d}{k+a+b}+\dfrac{d-a}{k+b+c}\ge\lambda (a-b)(b-c)(c-d) $$
Bài 57:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \dfrac{9}{4}$$
Bài 58:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} \ge \dfrac{5}{2}$$
Bài 59:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{\sqrt {a + b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {b + c} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {c + a} }} \ge 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$$
Bài 60:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1. Với những gtri nào của k thì BĐT sau đúng
$$\dfrac{1}{{{{(a + b)}^k}}} + \dfrac{1}{{{{(b + c)}^k}}} + \dfrac{1}{{{{(c + a)}^k}}} \ge 2 + \dfrac{1}{{{2^k}}}$$
Bài 61:
Cho các số thực dương $a,b,c,d$ có tổng bằng 4. CMR:
$$\dfrac{ab}{\sqrt{2a^{3}+bc}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2b^{3}+cd}}+\dfrac{cd}{\sqrt{2c^{3}+da}}+\dfrac{da}{\sqrt{2d^{3}+ab}}\geq \dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{\dfrac{14}{3}}$$
Bài 62:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{12(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^3}\geq \dfrac{7}{a+b+c}$$
Bài 63:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$$\sum\dfrac{b^2}{a^2(a+b)+c^2(b+c)}\leq \dfrac{9(a^5+b^5+c^5)}{4(a^2b+b^2c+c^2a)(b^2a+c^2b+a^2c)}$$
Bài 64:
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{b + c}{a}} \ge 2\left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{b + c}}\right).\sqrt{1 + \dfrac{(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc}{4\sum\limits_{cyc} a(a + b)(a + c)}}.$$
Bài 65:
Cho $a,b>0$ thỏa $a+b=2$.Chứng minh rằng nếu $k \geq \dfrac{1}{2}$ thì BĐT sau đúng :
$$a^{a^{kb} } .b^{b^{ka} } \ge 1$$
Bài 66:
Cho $a, b, c $ không đồng thời bằng 0.
Tìm GTNN của $$S= \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \dfrac{\sqrt{3(c^2+a^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Bài 67:
Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:
$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$
(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 10:48

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2013 - 13:06

Update lần 3. Hầu như là những bài mình p0st :luoi: Những t0pic mình p0st thường có 1 bài dễ 1 bài khó :)
Bài 68.
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:
$$\frac{\sqrt{a^2+3bc}}{(b+c)(a+8b)}+\frac{\sqrt{b^2+3ac}}{(a+c)(b+8c)}+\frac{\sqrt{c^2+3ab}}{(a+b)(c+8a)}\geq \frac{1}{a+b+c}$$

Bài 69:
Ch0 $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\ge 3$$
Chặt hơn :P
Bài 70:
Chứng minh với mọi tam giác $ABC$ có 2 góc $\geq 60^{o}$ ta luôn có:
$$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geq \sqrt{9+\frac{R-2r}{R}}$$

Bài 71.
Ch0 các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{a^2b+b^2c}+\sqrt{b^2c+c^2a}+\sqrt{c^2a+a^2b}\leq 3\sqrt{2}$$
Bài 72.
Chứng minh rằng với mọi thực dương $a,b,c$ ta luôn có:
$$\frac{3(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}$$

Bài 73.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^2}+\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}\geq \frac{5}{2}$$
Bài 74.
Ch0 $a,b,c>0\, , \, a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\geq 8$$

Bài 75.
Cho a,b,c dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm GTNN của A=$(a+b)^{3}(b+c)^{4}(c+a)^{5}$
Bài 76.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, Chứng minh rằng:
\[\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 9.\]

Bài 77.
Ch0 các số $a,b,c>0$ và $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$a\alpha+b\beta+c\gamma=0$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$D=a.t^{\alpha}+b.t^{\beta}+c.t^{\gamma}$$
Bài 78.
Chứng minh với mọi $a,b,c$ là các số thực dương ta luôn có:
$$\frac{1}{a+b+\frac{1}{abc}+1}+\frac{1}{b+c+\frac{1}{abc}+1}+\frac{1}{c+a+\frac{1}{abc}+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+c+1}$$

Bài 79:
Ch0 $x,y>0$ thỏa mãn $xy<1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2+\left(\frac{2y}{y^2+1}\right)^2\leq \frac{1}{1-xy}$$

Bài 80.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $[1;2]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{10a}{bc}+\frac{11b}{ac}+\frac{12c}{ab}\leq \frac{69}{2}$$

Bài 81.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a. \sqrt[3]{a+b}+b. \sqrt[3]{b+c}+c. \sqrt[3]{c+a} \ge 3 \sqrt[3]{2}$$
Bài 82.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
\[ \sqrt[3]{a^3-a+1}+\sqrt[3]{b^3-b+1}+\sqrt[3]{c^3-c+1} \geq a+b+c.\]

Bài 83.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$a^3+b^3+c^3+2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)$$
Bài 84.
Ch0 $3n$ số thực $a_1,a_2,....,a_n\\b_1,b_2,....,b_n\\x_1,x_2,....,x_n$
Thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n} a_i x_i=0\\ \sum_{j=1}^{n} b_j x_j=1$
Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)-(\sum_{i=1}^{n} a_ib_i)^2}$$
Bài 85.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$(a^3b+b^3c+c^3a)(ab+bc+ca)\leq 16$$

Bài 86. (THPT :)) )
Ch0 các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}ab+bc+ca=3\\(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)=2\end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$P=a^2+b^2+c^2+(a-b)(b-c)(c-a)-abc(a+b+c)$$

Bài 87.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca>0$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{(a+b)^2}{a^2+3ab+4b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+3bc+4c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+3ca+4a^2}\geq \frac{3}{2}$$

Bài 88.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$$

Bài 89.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$

Bài 90.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^4+b^4+c^4=3$.Chứng minh rằng:
$$a^7+b^7+c^7+abc\geq 4$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-02-2017 - 22:24

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 10:55

Đã cập nhật lại lời giải cho các bài toán trong danh sách,tính đến thời điểm này (11/3/2013) .Các bài tô đỏ là đã có lời giải.

Spoiler

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh