Chứng minh rằng: $AM, DI, EF$ đồng quy tại một điểm
#1
Đã gửi 30-07-2012 - 20:39
#2
Đã gửi 30-07-2012 - 22:33
- L Lawliet và dactai10a1 thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 04-09-2017 - 10:32
#4
Đã gửi 04-09-2017 - 23:05
cho em hỏi là ở bài nào vậy ạ
Bài này mình có 2 cách làm như sau:
Cách 1: Dùng $vector$
Gọi $K$ là giao điểm của $DI$ và $EF$. Khi đó ta có: $\overrightarrow{AK}=\dfrac{EK}{EF}\overrightarrow{AF}+\dfrac{FK}{EF}\overrightarrow{AE}=\dfrac{EK}{EF}.\dfrac{AF}{AB}\overrightarrow{AB}+\dfrac{FK}{EF}\dfrac{AE}{AC}\overrightarrow{AC}$
Gọi $N$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Lúc đó ta dễ thấy các cặp tam giác đồng dạng:
$\Delta FKI \sim \Delta ANB(g.g)\implies \dfrac{FK}{KI}=\dfrac{AN}{NB}$; $\Delta IKE \sim \Delta CNA(g.g)\implies\dfrac{KI}{KE}=\dfrac{NC}{NA}$
Từ đó: $\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{AB}$. Thay vào $\overrightarrow{AK}$:
$\overrightarrow{AK}=\dfrac{AE}{EF}\left ( \dfrac{EK}{AB}\overrightarrow{AB}+\dfrac{FK}{AC}\overrightarrow{AC} \right )=\\\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{EK}{AB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{EK}{AB}.\overrightarrow{AM}$
Vậy ta có $A,K,M$ thẳng hàng hay $AM,DI,EF$ đồng quy $\hspace{2cm}\square$
- hoangkimca2k2 yêu thích
#5
Đã gửi 04-09-2017 - 23:15
Cách 2: Dùng hàng điểm
Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $EF$ tại $K$
Đường thẳng $DI$ theo thứ tự cắt $EF$ và $AK$ tại $N$ và $L$
Năm điểm $A,F,I,L,E$ cùng thuộc 1 đường tròn $\implies \widehat{ILF}=\widehat{ILE}$
Mà: $\widehat{ILK}=90^o\implies (FENK)=-1\implies A(BNCK)=-1$
Theo cách vẽ thì $BC$ song song với $AK$ và $MB=MC$ nên $A(BCMK)=-1$
Vậy $A,N,M$ thẳng hàng hay $AM,EF,DI$ đồng quy $\hspace{2cm} \square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 04-09-2017 - 23:16
- Kim Vu và hoangkimca2k2 thích
#6
Đã gửi 10-09-2017 - 23:39
Một cách nữa : DI cắt EF tại K
Áp dụng Menelaus cho tam giác DIN suy ra A,K,M thẳng hàng
#7
Đã gửi 18-11-2021 - 21:26
Giả sử $AB<AC$
Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $DI$. Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $U,V$ thì $DK$ vuông góc $UV$
Xét các tứ giác nội tiếp $UFIK$ và $EVIK$ có $\left\{\begin{matrix}\widehat{IFK}=\widehat{IUK} & \\ \widehat{IEK}=\widehat{IVK} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{IUK}=\widehat{IVK}$ (Do tam giác $IEF$ cân tại $I$) suy ra tam giác $IUV$ cân tại $I$ lúc đó $K$ là trung điểm của $UV$ suy ra $A,K,M$ thẳng hàng (Bổ đề hình thang)
Vậy $AM,DI,EF$ đồng quy (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-11-2021 - 21:28
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#8
Đã gửi 02-12-2021 - 00:19
Cho em gửi 1 cách khác ạ:
Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của EF, DI với BA, CB
ta có (BXMD) = E(BXMD) = E(BFMD) = (BFMD) = A(BFMD) = A(BFAD) = (BFAD) = I(BFAD) = I(BFAY) = (BFAY)
do đó (BXMD) = (BFAY)
=> XF, MA, DY đồng quy hay EF, AM, DI đồng quy
=> ĐPCM
- Hoang72 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh