Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $AM, DI, EF$ đồng quy tại một điểm

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, DI, EF đồng quy tại một điểm.

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Tài liệu chuyên toán Hình học 10
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

Tài liệu chuyên toán Hình học 10

cho em hỏi là ở bài nào vậy ạ 


  N.D.P 

#4
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

cho em hỏi là ở bài nào vậy ạ 

Bài này mình có 2 cách làm như sau:

Cách 1: Dùng $vector$

hang điểm.png

Gọi $K$ là giao điểm của $DI$ và $EF$. Khi đó ta có: $\overrightarrow{AK}=\dfrac{EK}{EF}\overrightarrow{AF}+\dfrac{FK}{EF}\overrightarrow{AE}=\dfrac{EK}{EF}.\dfrac{AF}{AB}\overrightarrow{AB}+\dfrac{FK}{EF}\dfrac{AE}{AC}\overrightarrow{AC}$

Gọi $N$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Lúc đó ta dễ thấy các cặp tam giác đồng dạng:

$\Delta FKI \sim \Delta ANB(g.g)\implies \dfrac{FK}{KI}=\dfrac{AN}{NB}$; $\Delta IKE \sim \Delta CNA(g.g)\implies\dfrac{KI}{KE}=\dfrac{NC}{NA}$

Từ đó: $\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{AB}$. Thay vào $\overrightarrow{AK}$:

$\overrightarrow{AK}=\dfrac{AE}{EF}\left ( \dfrac{EK}{AB}\overrightarrow{AB}+\dfrac{FK}{AC}\overrightarrow{AC} \right )=\\\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{EK}{AB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{EK}{AB}.\overrightarrow{AM}$

Vậy ta có $A,K,M$ thẳng hàng hay $AM,DI,EF$ đồng quy $\hspace{2cm}\square$



#5
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Cách 2: Dùng hàng điểm

hđc2.png

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $EF$ tại $K$

Đường thẳng $DI$ theo thứ tự cắt $EF$ và $AK$ tại $N$ và $L$

Năm điểm $A,F,I,L,E$ cùng thuộc 1 đường tròn $\implies \widehat{ILF}=\widehat{ILE}$

Mà: $\widehat{ILK}=90^o\implies (FENK)=-1\implies A(BNCK)=-1$

Theo cách vẽ thì $BC$ song song với $AK$ và $MB=MC$ nên $A(BCMK)=-1$

Vậy $A,N,M$ thẳng hàng hay $AM,EF,DI$ đồng quy $\hspace{2cm} \square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 04-09-2017 - 23:16


#6
Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Một cách nữa : DI cắt EF tại K

Áp dụng Menelaus cho tam giác DIN suy ra A,K,M thẳng hàng



#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $AB<AC$

Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $DI$. Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $U,V$ thì $DK$ vuông góc $UV$ 

Xét các tứ giác nội tiếp $UFIK$ và $EVIK$ có $\left\{\begin{matrix}\widehat{IFK}=\widehat{IUK} & \\ \widehat{IEK}=\widehat{IVK} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{IUK}=\widehat{IVK}$ (Do tam giác $IEF$ cân tại $I$) suy ra tam giác $IUV$ cân tại $I$ lúc đó $K$ là trung điểm của $UV$ suy ra $A,K,M$ thẳng hàng (Bổ đề hình thang)

Vậy $AM,DI,EF$ đồng quy (đpcm)

Hình gửi kèm

  • 255444931_932871954326569_3908877182677784180_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-11-2021 - 21:28

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#8
maolus123

maolus123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Cho em gửi 1 cách khác ạ:

Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của EF, DI với BA, CB 

ta có (BXMD) = E(BXMD) = E(BFMD) = (BFMD) = A(BFMD) = A(BFAD) = (BFAD) = I(BFAD) = I(BFAY) = (BFAY)

do đó (BXMD) = (BFAY)

=> XF, MA, DY đồng quy hay EF, AM, DI đồng quy 

=> ĐPCM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh