Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

cho f₁(x),f₂(x),...f_n(x) là n đa thức với hệ số nguyên khác 0.cmr tồn tại đa thức P(x) hệ số nguyên sao cho với mọi i=1,...,n ta luôn có P(x) + f_i(x) là đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Z}$

[nguyenthehoan]

cho f₁(x),f₂(x),...f_n(x) là n đa thức với hệ số nguyên khác 0.cmr tồn tại đa thức P(x) hệ số nguyên sao cho với mọi i=1,...,n ta luôn có P(x) + f_i(x) là đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Z}$

Giả sử $degf_{1}\leq degf_{2}\leq ...\leq degf_{n}$

 

Đặt $f_{i}=a_{0_{i}}+a_{1_{i}}x+...+a_{m_{i}}x^{m}$  (với m là bậc của $f_{n}$)

 

Ta sẽ cm tồn tại đa thức P(x) bậc m thoả mãn đề

 

Thật vậy

 

xét $P=b_{o}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}$

 

$\Rightarrow P+f_{1}=b_{0}+a_{0_{i}}+(b_{1}+a_{1_{i}})x+...+(b_{m}+a_{m_{i}})x^{m}$

 

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstien ta sẽ cm rằng hệ sau có nghiệm

 

$b_{0}+a_{0_{1}}\equiv p_{1} (mod p_{1}^{2})$

 

$b_{0}+a_{0_{2}}\equiv p_{2} (mod p_{2}^{2})$

 

...

$b_{o}+a_{0_{m}}\equiv p_{m} (mod p_{m}^{2})$  

 

Xây dựng các hệ đồng dư tương tự với $b_{1},b_{2},...,b_{n}$  sao cho hệ số các đa thúc thoả mãn tiêu chuẩn Eisenstein

 

Theo định lí thặng dư trung hoa thì các hệ trên luôn có nghiệm.

 

Suy ra tồn tại P thoả mãn đề.