Chủ đề này có 1 trả lời

[huou202]

Giải phương trình
1 . $(2sin^2x-1)tan^22x+3(cos^2x-1)=0$
2. $cos^3x+sin^3x+2sin^2x-1=0$
3. $4^x-2^{x+1}+2(2^x-1)sin(2^x+y-1)+2=0$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

a,
ĐK: $\cos{2x} \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$

Phương trình ban đầu tương đương:
$-\cos{2x}.\dfrac{\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - 3(1 - \cos^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sin^2{2x}}{\cos{2x}} + 3\sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow \sin^2{x}(\dfrac{4\cos^2{x}}{\cos{2x}} + 3) = 0$


$\Leftrightarrow \sin^2{x}(\dfrac{4\cos^2{x} + 3(2\cos^2{x} - 1)}{\cos{2x}}) = 0$

$\Leftrightarrow \sin^2{x}\dfrac{10\cos^2{x} - 3}{\cos{2x}} = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = 0\\\cos{x} = \pm\sqrt{\dfrac{3}{10}}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi\\x = \pm \arccos{\pm \sqrt{\dfrac{3}{10}}} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi\\x = \pm \dfrac{\arccos{\dfrac{-2}{5}}}{2}+ k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

b,
Phương trình tương đương:
$(\sin{x} + \cos{x})(\sin^2{x} + \cos^2{x} - \sin{x}\cos{x}) + 2\sin^2{x} - (\sin^2{x} + \cos^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(1 - \sin{x}\cos{x}) + \sin^2{x} - \cos^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(1 - \sin{x}\cos{x} + \sin{x} - \cos{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})( 1 + \sin{x})(1 - \cos{x}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = -\cos{x}\\\sin{x} = -1\\\cos{x} = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{-\pi}{4} + k\pi\\x = \dfrac{- \pi}{2} + 2k\pi\\x = 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

c, $4^x-2^{x+1}+2(2^x-1)\sin(2^x+y-1)+2=0$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$(2^x)^2 - 2.2^x + 2(2^2 - 1)\sin(2^x+y-1)+2 = 0 \,\, (1)$

Đặt $2^x - 1 = a \Leftrightarrow 2^x = a + 1 > 0$. Phương trình (1) trở thành:

$(a + 1)^2 -2(a + 1) + 2 + 2a\sin{(a + y)} = 0$

$\Leftrightarrow a^2 + 1 + 2a\sin{(a + y)} = 0$

$\Leftrightarrow [a^2 + 2a\sin{(a + y)} + \sin^2{(a + y)}] + 1 - \sin^2{(a + y)} = 0$

$\Leftrightarrow [a + \sin{(a + y)}]^2 + 1 - \sin^2{(a + y)} = 0$

Nhận thấy: $VT \geq 0 = VF $. Do đó, phương trình có nghiệm khi:

$\left\{\begin{array}{l}a + \sin{(a + y)} = 0\\\left[\begin{array}{l} \sin{(a + y)} = 1\\\sin{(a + y)} = -1\end{array}\right.\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\sin{(a + y)} = -a\\\sin{(a + y)} = 1\end{array}\right. \,\,\, (1)\\\left\{\begin{array}{l}\sin{(a + y)} = -a\\\sin{(a + y)} = -1\end{array}\right. \,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta sẽ giải từng phương trình:
- Ta có:
$(1) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -1\\\sin{(y - 1)} = 1\end{array}\right.$

Hệ nói trên vô nghiệm vì khi $a = -1 \Rightarrow 2^x = 0 (VL)$

- Ở hệ còn lại, ta có:
$(2) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 1\\\sin{(y + 1)} = -1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2^x = 2\\y + 1 = \dfrac{-\pi}{2} + 2k\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{-\pi}{2} - 1 + 2k\pi \,\, (k \in Z)\end{array}\right.$