Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $a,b,c>0, ab+bc+ca+abc=4$ Chứng minh $a+b+c\geq ab+ac+bc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 04-08-2012 - 14:39

Bài toán
Cho $a,b,c>0, ab+bc+ca+abc=4$
Chứng minh $a+b+c\geq ab+ac+bc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 04-08-2012 - 14:51


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 04-08-2012 - 14:48

Xem bài 2 và một số bài toán liên quan tại đây

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 bastian schweinsteiger

bastian schweinsteiger

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt phan boi chau

Đã gửi 04-08-2012 - 14:53

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$
$x+y+z+1=4xyz\Rightarrow 2x+2y+2z+2=8xyz$
$\Rightarrow \sum (2x+1)(2y+1)=(2x+1)(2y+1)(2z+1)$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=1$
Đặt $\frac{1}{2x+1}=a$; $\frac{1}{2y+1}=b$ ; $\frac{1}{2z+1}=c$
$\Rightarrow a+b+c=1$ ; $x=\frac{1-a}{2a}$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)(c+a)}{4ab}\geq \sum \frac{b+c}{2a}$
$ \Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)}{ac}+\frac{(b+c)(c+a)}{ba}+\frac{(c+a)(a+b)}{cb} \geq 2( \frac{a+b}{c}+ \frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b})$
$\Leftrightarrow \sum a(a+b)(a+c) \geq \sum 2ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq \sum ab(a+b)$ (Schur)

#4 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 04-08-2012 - 15:23

Có thể là cách này (bạn tham khảo nhé :lol: ):
Không mất tính tổng quát giả sử:$c\geq b\geq a$.Ta phải chứng minh :
$a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-1)$
$\Leftrightarrow (a+b-2)^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$
Bất đẳng thức này đúng vì theo AM-GM và giả thiết thì :
$(a+b-2)^{2}\geq 4(a-1)(b-1)\geq ab(a-1)(b-1)$
Vậy ta có ĐPCM.
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#5 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 04-08-2012 - 18:04

http://diendantoanho...b2c2afracc2a2b/
bài 1, ứng dụng của cái này cũng nhiều.

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#6 Livetolove220797

Livetolove220797

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 23-10-2014 - 05:14

Có thể là cách này (bạn tham khảo nhé :lol: ):
Không mất tính tổng quát giả sử:$c\geq b\geq a$.Ta phải chứng minh :
$a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-1)$
$\Leftrightarrow (a+b-2)^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$
Bất đẳng thức này đúng vì theo AM-GM và giả thiết thì :
$(a+b-2)^{2}\geq 4(a-1)(b-1)\geq ab(a-1)(b-1)$
Vậy ta có ĐPCM.

Bạn xem lại chỗ này nhé vì chưa biết $a-1, b-1$ dương hay âm mà?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh