Chủ đề này có 6 trả lời

[donghaidhtt]

Giải các pt:
1. $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$
2. $x^{3}-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$
Đề thi HSG Toán Toàn quốc năm 1995, bảng A và B.
Làm nhiều cách nhé các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 05-08-2012 - 01:35

[longqnh]

Giải các pt:
1. $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

\[\begin{array}{l}
2{x^2} - 11x + 21 - 3\sqrt[3]{{4x - 4}} = 0 \\
<=> 2{x^2} - 8x + 6 - 3x + 9 + 6 - 3\sqrt[3]{{4x - 4}} \\
<=> \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 3} \right) - \frac{{108\left( {x - 3} \right)}}{{36 + 18\sqrt[3]{{4x - 4}} + 9\sqrt[3]{{{{\left( {4x - 4} \right)}^2}}}}} = 0 \\
<=> \left( {x - 3} \right)\left[ {x - 4 - \frac{{108}}{{36 + 18\sqrt[3]{{4x - 4}} + 9\sqrt[3]{{{{\left( {4x - 4} \right)}^2}}}}}} \right] = 0 \\
<=> x = 3 \\
\end{array}\]

[tieulyly1995]

1. $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

Ta thấy :
$2x^{2}-11x+21 = 2( x- \frac{11}{4})^{2}+ \frac{47}{8} > 0$ nên $3\sqrt[3]{4x-4}> 0\Leftrightarrow x-1 > 0$
Áp dụng bất đẳng thức A-G, ta có :
$2(x-1)^{2}+ 8 \geq 8(x-1)$
$(x-1) +2+ 2 \geq 3\sqrt[3]{4(x-1)}$
Cộng vế với vế, ta được :
$2 (x-1)^{2} - 7(x-1)+12\geq 3\sqrt[3]{4(x-1)}$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-11x +21\geq 3\sqrt[3]{4(x-1)}$
Đẳng thức xảy ra khi $x-1= 2 \Leftrightarrow x=3$

2. $x^{3}-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$

ĐKXĐ : $x \geq -1$
Áp dụng bất đẳng thức A-G cho 4 số không âm, ta có :
$8\sqrt[4]{4x+4}= \sqrt[4]{2^{4}.2^{4}.2^{4}.(4x+4)}\leq x+13$
Do đó : $x^{3}-3x^2-8x+40 \leq x+13$
$\Leftrightarrow (x-3)^{2}. (x+3)\leq 0$
Mà $x\geq -1 \Rightarrow x+3> 0$
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=3$

[nthoangcute]

Giải các pt:
1. $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$
2. $x^{3}-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$
Đề thi HSG Toán Toàn quốc năm 1995, bảng A và B.
Làm nhiều cách nhé các bạn

Cách 2:
1. ĐẶt $y=\sqrt[3]{4x-4}$
Suy ra $x=\frac{y^3}{4}+1$
Dễ dàng chứng minh được $x,y>0$
Suy ra phương trình đã cho tương đương với:
$(2yx+7y+8x+4+6y^2)(y-2)^2=0$
$\Leftrightarrow y=2$
2. Đặt $y=\sqrt[4]{4x+4}$
Suy ra $x=\frac{y^4}{4}-1$
Dễ dàng chứng minh được $x,y>0$
Suy ra phương trình đã cho tương đương với:
$(y^2x^2+16y^2x+40y^2+4yx^2+32yx+64y+12x^2+64x+96+8y^3x+24y^3)(y-2)^2=0$
$\Leftrightarrow y=2$
_________________
P/s: Cách này hơi châu

[donghaidhtt]

Bài 3: Giải hệ:
$ \left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}\end{matrix}\right. $

Spoiler

có thể sử dụng lượng giác

Bài 4: Giải pt
$ sinxcos^{2}x+sinycos^{2}y=2(1-sinxsiny) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 05-08-2012 - 13:55

[minhdat881439]

Cho em hỏi là nếu bài 3 mình sử dụng đạo hàm mà em lại đạo ra được f(t)$> 0$ nhưng trên khoảng $(-\infty ;-1)\vee (1;+\infty )$ thì có thể kết luận được gì không

[longqnh]

Bài 3: Giải hệ:
$ \left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}\end{matrix}\right. $

Đk: ............................................................
trừ 2 pt theo vế, ta được pt:
\[\begin{array}{l}
a - b = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} - 1} }} - \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - 1} }} \\
<=> a + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - 1} }} = b + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} - 1} }} \\
\end{array}\]
Xét hàm số $f(t)=t+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}$ trên $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
$f'(t)=1+\frac{1}{\sqrt{t^2-1}(t^2-1)}$
Dễ thấy $f'(t)>0\forall t\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
=> $f(t)$ đồng biến trên $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
Mà $f(a)=f(b)$ nên $a=b$
sau đó thực hiện phép thế tìm nghiệm của hpt