Đến nội dung

Hình ảnh

$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
online

online

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.

#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.

Bài này có thể xài Lopital nhưng tốt nhất cứ xài thêm bớt :D
Tách thành 2 giới hạn:
$$B=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}.\frac{e^{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}-1}{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=1+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
$$C=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\frac{-3x}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+1+\sqrt[3]{1-3x}}}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{-3}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}.\frac{e^{\frac{-3x}{\sqrt[3]{1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}}-1}{\frac{-3x}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}}+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=-1+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
Suy ra:
$$A=B-C=1+1=2$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.


Ta có: $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}$

Mà: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}=-1$

$\Rightarrow A=1+1=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 05-08-2012 - 22:14

cnt

#4
online

online

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Giúp mình bài này nữa :icon6: :icon6: :
$B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left | x \right |-ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1} -1\right |}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi online: 06-08-2012 - 10:37


#5
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Giúp mình bài này nữa :icon6: :icon6: :
$B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left | x \right |-ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1} -1\right |}{x}$

Ta có: $(\sqrt[3]{3x+1}+1).(\sqrt{x+1}-1)=\frac{x.(\sqrt[3]{3x+1}+1)}{\sqrt{x+1}+1}$

$ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1}-1 \right |=ln\left | x \right |+ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)$

$\Rightarrow B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt[3]{3x+1})-ln2}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt{x+1})-ln2}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-1))}{x}$ $=M-N$


Ta có: $M=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1)}.\frac{\sqrt[3]{3x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}$

$N=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1)}.\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow B=M-N=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 06-08-2012 - 22:33

cnt

#6
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.

bài này thì xài định nghĩa đạo hàm cho nhẹ:
đặt f(x)=$e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}$
$\Rightarrow f'(0)=2$, f(0)=0
mà theo định nghĩa đạo hàm ta có
$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2$
thế là xong!

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh