$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}.$
#2
Đã gửi 05-08-2012 - 21:56
Bài này có thể xài Lopital nhưng tốt nhất cứ xài thêm bớtTìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.
Tách thành 2 giới hạn:
$$B=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}.\frac{e^{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}-1}{\frac{2x}{\sqrt{2x+1}+1}}+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=1+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
$$C=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\frac{-3x}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+1+\sqrt[3]{1-3x}}}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{-3}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}.\frac{e^{\frac{-3x}{\sqrt[3]{1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}}-1}{\frac{-3x}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}+\sqrt[3]{1-3x}+1}}+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=-1+\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
Suy ra:
$$A=B-C=1+1=2$$
- axe900 yêu thích
#3
Đã gửi 05-08-2012 - 22:11
Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.
Ta có: $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}$
Mà: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}=-1$
$\Rightarrow A=1+1=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 05-08-2012 - 22:14
- hxthanh, axe900, Dell Inspiron và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 06-08-2012 - 22:30
Ta có: $(\sqrt[3]{3x+1}+1).(\sqrt{x+1}-1)=\frac{x.(\sqrt[3]{3x+1}+1)}{\sqrt{x+1}+1}$Giúp mình bài này nữa :
$B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left | x \right |-ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1} -1\right |}{x}$
$ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1}-1 \right |=ln\left | x \right |+ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)$
$\Rightarrow B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt[3]{3x+1})-ln2}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt{x+1})-ln2}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-1))}{x}$ $=M-N$
Ta có: $M=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1)}.\frac{\sqrt[3]{3x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}$
$N=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1)}.\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow B=M-N=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 06-08-2012 - 22:33
- axe900, Dell Inspiron, Mrnhan và 1 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 07-08-2012 - 15:02
bài này thì xài định nghĩa đạo hàm cho nhẹ:Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.
đặt f(x)=$e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}$
$\Rightarrow f'(0)=2$, f(0)=0
mà theo định nghĩa đạo hàm ta có
$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2$
thế là xong!
- axe900, MrVirut và Rias Gremory thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh