24 replies to this topic

[minhdat881439]

Giải phương trình: $\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{x}=1$

ĐK:$0\leq x\leq 1$
Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[8]{1-x}=a;a\geq 0 & \\ \sqrt[8]{x}=b;b\geq 0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{8}+b^{8}=1$
ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} a^{8}+b^{8}=1 & \\ a+b=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{8}+b^{8}=1 & \\ a(a^{7}-1)+b(b^{7}-1)=0 & \end{matrix}\right.$(1)
Do $a^{8}+b^{8}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq a\leq 1 & \\ 0\leq b\leq 1 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a(a^{7}-1)+b(b^{7}-1)\leq 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\left\{\begin{matrix} a(a^{7}-1)=0 & \\ b(b^{7}-1)=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 \vee a=1 & \\ b=0 \vee b=1 & \end{matrix}\right.$
Từ đây dễ rồi ......
Vậy x=0 $\vee$ x=1

[robin997]

Giải phương trình: $\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{x}=1$

Cách khác nha bạn ^^,
ĐK:$0\leq x\leq 1$
Ta có với mọi a;b không âm: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$
Mà $8=2.2.2$ nên ta có:
$\sqrt{\sqrt{\sqrt{1-x}}}+\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\\\geq \sqrt{\sqrt{\sqrt{1-x}}+\sqrt{\sqrt{x}}}\\\geq \sqrt{\sqrt{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}}\\\geq \sqrt{\sqrt{\sqrt{1-x+x}}}$
Hay $\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{x}\geq 1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=1$ Hoặc $x=0$.. và đây cũng là 2 nghiệm của pt! :"/

Edited by robin997, 10-08-2012 - 07:45.

[manucian96]

Giải phương trình: $\frac{2+\sqrt{x}}{3+\sqrt{1-x}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

[henry0905]

Giải phương trình: $\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{x}=1$

Đặt $\sqrt[8]{1-x}=a,\sqrt[8]{x}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1 & \\ a^{8}+b^{8}=1 & \end{matrix}\right.$
Đây là hệ đối xứng loại 1 rồi giải bình thường.

Giải phương trình: $\frac{2+\sqrt{x}}{3+\sqrt{1-x}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{1-x}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}+ab+2a+3b-2=0 & \\ a^{2}+b^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
Đến đây mình chỉ biết thế vào rồi tính.

Edited by henry0905, 10-08-2012 - 18:16.

[robin997]

Giải phương trình: $\frac{2+\sqrt{x}}{3+\sqrt{1-x}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

Bạn làm thế này nhé ^^,:
CMR: VT$\leq$1$\leq$VP
đẳng thức$\Leftrightarrow$x=1 và đó là nghiệm của pt!