Chủ đề này có 2 trả lời

[yellow]

$M$ là một điểm nằm trong $\Delta ABC, AB = c, AC = b, BC = a$. $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao tương ứng $BC, CA, AB$.
CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$
Tìm vị trí của M sao cho $\frac{a}{MA_{1}} + \frac{b}{MB_{1}} + \frac{c}{MC_{1}}$ nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 07-08-2012 - 19:22

[triethuynhmath]

$M$ là một điểm nằm trong $\Delta ABC, AB = c, AC = b, BC = a$. $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao tương ứng $BC, CA, AB$.
CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$
Tìm vị trí của M sao cho $\frac{a}{MA_{1}} + \frac{b}{MB_{1}} + \frac{c}{MC_{1}}$ nhỏ nhất

Không ai làm thôi mình chém luôn:
a) $\frac{MA1}{ha}=\frac{\frac{1}{2}MA1.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự,cộng vế theo vế được:
$\sum \frac{MA1}{ha}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1(Q.E.D)$
____________
b)Nhường cho mọi người,Cauchy-Schwarz phát là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 07-08-2012 - 19:34

[BlackSelena]

Đặt $MA_1 = x, MB_1 = y, MC_1=z$
Ta có
$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{a^2}{ax} + \frac{b^2}{by} + \frac{c^2}{cz}$
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel, ta có:
$\frac{a^2}{ax} + \frac{b^2}{by} + \frac{c^2}{cz} \geq \frac{(a+b+c)^2}{ax+by+cz}$
$= \frac{(a+b+c)^2}{2S_{ABC}}$
Vậy max $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{(a+b+c)^2}{2S_{ABC}}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ tức $M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.