Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{a^{2}.b^{2}}+\frac{1}{b^{2}.c^{2}}+\frac{1}{c^{2}.a^{2}}\leq \frac{9}{S^{2}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết
Cho tứ diện $ABCD$ với $AB=CD=c$, $AC=BD=b$, $AD=BC=a$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}.b^{2}}+\frac{1}{b^{2}.c^{2}}+\frac{1}{c^{2}.a^{2}}\leq \frac{9}{S^{2}}$, trong đó $S$ là tổng diện tích 4 mặt của tứ diện.
cnt

#2
Sunflower2

Sunflower2

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Gợi ý :

Đây là tứ diện gần đều , có diện tích 4 mặt bên s bằng nhau và bằng S/4 .

nên cần chứng minh :
$\frac{4s^2}{a^2b^2}+\frac{4s^2}{c^2b^2}+\frac{4s^2}{a^2c^2}\leq \frac{9}{4}$

mà $s=\frac{1}{2}absinC$ và lưu ý các mặt bên là các tam giác bằng nhau nên ta đưa về 3 góc trong 1 tam giác :

$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq \frac{9}{4}$

Cái này thì cơ bản quá nhỉ !

#3
online

online

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Gợi ý :

Đây là tứ diện gần đều , có diện tích 4 mặt bên s bằng nhau và bằng S/4 .

nên cần chứng minh :
$\frac{4s^2}{a^2b^2}+\frac{4s^2}{c^2b^2}+\frac{4s^2}{a^2c^2}\leq \frac{9}{4}$

mà $s=\frac{1}{2}absinC$ và lưu ý các mặt bên là các tam giác bằng nhau nên ta đưa về 3 góc trong 1 tam giác :

$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq \frac{9}{4}$

Cái này thì cơ bản quá nhỉ !

Dấu ' = ' xảy ra khi nào vậy?

#4
Sunflower2

Sunflower2

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Đương nhiên dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ rùi !

#5
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Gợi ý :

Bài này có thể giải như sau:
Ta có: $\Delta ABC= \Delta ACD= \Delta ABD= \Delta BCD$
$\Rightarrow S= 4.S_{\Delta ABC}= \frac{abc}{R}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Khi đó BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{(ab)^{2}}+\frac{1}{(bc)^{2}}+\frac{1}{(ca)^{2}}\leq \frac{9.R^{2}}{(abc)^{2}}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9.R^{2}$ (1)
BĐT (1) luôn đúng vì:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 4.R^{2}.(sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C)$
= $4.R^{2}.[1-cos^{2}A+1-\frac{1}{2}.(cos2B+cos2C)]$

= $4.R^{2}.[2-cos^{2}A+cosA.cos(B-C)]$ $\leq 4.R^{2}.(2-cos^{2}A+\left | cosA \right |)$
= $4.R^{2}.[\frac{9}{4}-(cos^{2}A-\left | cosA \right |+\frac{1}{4})]$ = $4.R^{2}.[\frac{9}{4}-(|cosA|-\frac{1}{2})^{2}]$ $\leq 9.R^{2}$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow cosA.cos(B-C)=\left | cosA \right |$ và $\left | cosA \right |= \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow B= C$ và $A= 60^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều
$\Rightarrow$ Tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 12-08-2012 - 12:26

cnt

#6
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết
Thử sức với bài này xem sao.
Cho tứ diện đều cạnh bằng 1. M và N là các điểm di động trên AB, AC sao cho mp(DMN) luôn vuông góc với mp(ABC). Đặt AM = x, AN = y.
a) Chứng minh rằng: x + y = 3xy.
b) Tính tổng diện tích 4 mặt của tứ diện AMND.
c) Xác định x, y để tổng diện tích 4 mặt của tứ diện AMND đạt GTLN và GTNN.
cnt




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh