Chủ đề này có 1 trả lời

[blackrussian95]

$cos2x+5=2\sqrt{2}(2-cosx)(sinx -\frac{\pi }{4})$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề hinh như là thế này phải không nhỉ?

$\cos{2x} + 5 = 2\sqrt{2}(2-\cos{x})(\sin{x -\frac{\pi }{4}})$

Giải

Phương trình tương đương:
$\cos{2x} + 5 = 2\sqrt{2}(2 - \cos{x}).\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin{x} - \cos{x})$

$\Leftrightarrow \cos{2x} + 5 = 2(2 - \cos{x})(\sin{x} - \cos{x})$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} + 4 = 2(2\sin{x} - 2\cos{x} - \sin{x}.\cos{x} + \cos^2{x})$

$\Leftrightarrow 2 = 2(\sin{x} - \cos{x}) - \sin{x}\cos{x} \,\, (2)$

Đặt $a = \sin{x} - \cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x -\frac{\pi }{4})} \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$\Rightarrow \sin{x}.\cos{x} = \dfrac{1 - a^2}{2}$

(2) trở thành: $2a - \dfrac{1 - a^2}{2} = 2 \Leftrightarrow (a - 1)(a + 5) = 0$

$\Rightarrow a = 1 \Rightarrow \sin{(x -\frac{\pi }{4})} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\x - \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \pi + 2k\pi\end{array}\right.$