Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\frac{a+4}{a(a^2+bc+c^2)}+\frac{b+4}{b(b^2+ac+a^2)}+\frac{c+4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$

- - - - - mathlinks

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$. Chứng minh: $$\frac{a+4}{a(a^2+bc+c^2)}+\frac{b+4}{b(b^2+ac+a^2)}+\frac{c+4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-08-2012 - 19:49

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Lời giải :
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Ta có BĐT quen thuộc sau :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=1$$
ÁP dụng AM-GM , lại có :
$$\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)} \ge \dfrac{12}{\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}} \ge \dfrac{36}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )+ab+bc+ca} =\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Như vậy, cần chứng minh :
$$\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}+1\ge \dfrac{30}{a^2+b^2+c^2+3} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$$
Hiển nhiên đúng.
BĐT đã được chứng minh.

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
Em nghĩ là BĐT thế này chú nhỉ anh Mít .
$$\Leftrightarrow$\dfrac{1}{a^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{b^2+ac+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ab+b^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 10-08-2012 - 20:46


#4
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Em nghĩ là BĐT thế này chú nhỉ anh Mít .
$$\Leftrightarrow$\dfrac{1}{a^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{b^2+ac+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ab+b^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Hì, anh nhầm rồi :D mod xoá nhé :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#5
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$. Chứng minh: $$\frac{a+4}{a(a^2+bc+c^2)}+\frac{b+4}{b(b^2+ac+a^2)}+\frac{c+4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Giải
BĐT đưa về được dạng sau

\[\frac{{a + 4}}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{{b + 4}}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{{c + 4}}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}\]
\[=\frac{1}{{{a^2} + bc + {c^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + ca + {a^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + ab + {b^2}}} + 4\left( {\frac{1}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{1}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{1}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}} \right)\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{12}}{{\sqrt[3]{{a({a^2} + bc + {c^2})b({b^2} + ac + {a^2})c({c^2} + ab + {b^2})}}}}\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{36}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{45}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{30}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3}}\]

p/s:Huy chỉ nhầm 1 chút thôi lời giải cơ bản là chuẩn rồi :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-08-2012 - 21:01

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#6
phamduytien

phamduytien

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Lời giải :
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)}\ge \frac{30}{a^2+b^2+c^2+3}$$

Ta có BĐT quen thuộc sau :
$$\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=1$$
ÁP dụng AM-GM , lại có :
$$\dfrac{4}{a(a^2+bc+c^2)}+\dfrac{4}{b(b^2+ac+a^2)}+\dfrac{4}{c(c^2+ab+b^2)} \ge \dfrac{12}{\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}} \ge \dfrac{36}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )+ab+bc+ca} =\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}$$
Như vậy, cần chứng minh :
$$\dfrac{24}{a^2+b^2+c^2+3}+1\ge \dfrac{30}{a^2+b^2+c^2+3} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$$
Hiển nhiên đúng.
BĐT đã được chứng minh.

Bđt quen thuộc đó chứng minh thế nào anh ?



#7
phamduytien

phamduytien

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Giải
BĐT đưa về được dạng sau

\[\frac{{a + 4}}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{{b + 4}}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{{c + 4}}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}\]
\[=\frac{1}{{{a^2} + bc + {c^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + ca + {a^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + ab + {b^2}}} + 4\left( {\frac{1}{{a({a^2} + bc + {c^2})}} + \frac{1}{{b({b^2} + ac + {a^2})}} + \frac{1}{{c({c^2} + ab + {b^2})}}} \right)\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{12}}{{\sqrt[3]{{a({a^2} + bc + {c^2})b({b^2} + ac + {a^2})c({c^2} + ab + {b^2})}}}}\]
\[ \ge \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} + \frac{{36}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{45}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{30}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3}}\]

p/s:Huy chỉ nhầm 1 chút thôi lời giải cơ bản là chuẩn rồi :)

Bài này sai rồi mà. :(



#8
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Bài này sai rồi mà. :(

Sai thì em phải chỉ ra xem nó sai ở đâu nhé.ANh thấy em viết bài mang đậm tính spam.Em mới tham gia diễn đàn.Tốt nhất nên đọc kĩ nội quy trước :)


alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mathlinks

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh