Xác định góc $\alpha$ giữa đường thẳng và tiếp tuyến sao cho $S_{\Delta ABC}$ lớn nhất.
#1
Đã gửi 11-08-2012 - 18:43
#2
Đã gửi 17-03-2017 - 23:35
Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.
Chọn tâm $O$ của đường tròn làm gốc hệ trục tọa độ $Oxy$.Chọn tọa độ của $A$ là $(0;-1)$ ; của $T$ là $(-1;-1)$
Đường thẳng $d$ qua $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $T$ và $C$)
Gọi hình chiếu của $B$ và $C$ trên $AT$ lần lượt là $P$ và $Q$.
$S_{ABC}=S_{ATC}-S_{ATB}=\frac{1}{2}AT.(CQ-BP)=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha$
Đường thẳng $d$ đi qua $T(-1;-1)$ và có hệ số góc $\tan\alpha$ nên có phương trình $(d):x\tan\alpha -y+\tan\alpha -1=0$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Chú ý rằng $0^o\leqslant \alpha \leqslant 90^o$ nên ta có :
$OM=\frac{\left | \tan\alpha -1 \right |}{\sqrt{\tan^2\alpha +1}}=\left | \sin\alpha -\cos\alpha \right |$
$BC=2\sqrt{OB^2-OM^2}=2\sqrt{1-(1-2\sin\alpha \cos\alpha )}=\sqrt{8\sin\alpha\cos\alpha }$
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{8\sin^3\alpha \cos\alpha }=\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }$
$S_{ABC}'=\frac{3\sin^2\alpha \cos^2\alpha -\sin^4\alpha }{\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }}$
$S_{ABC}'=0\Leftrightarrow \alpha=60^o$
+ Khi $\alpha =0^o\Rightarrow S_{ABC}=0$
+ Khi $\alpha =60^o\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt{2\sin^360^o\cos60^o}=\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$
+ Khi $\alpha =90^o\Rightarrow S_{ABC}=0$
Vậy giá trị lớn nhất của $S_{ABC}$ là $\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$ xảy ra khi $\alpha=60^o$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-03-2017 - 06:14
- bocale yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh