Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Hàm f(x;y) xác định với mọi số tự nhiên x,y thỏa

$\begin{array}{l}
f(0,y) = y + 1;\\
f(x + 1,0) = f(x,1);\\
f(x + 1,y + 1) = f(x,f(x + 1,y))
\end{array}$
Tìm f(4;2004)

[chanhquocnghiem]

Hàm f(x;y) xác định với mọi số tự nhiên x,y thỏa

$\begin{array}{l}
f(0,y) = y + 1;\\
f(x + 1,0) = f(x,1);\\
f(x + 1,y + 1) = f(x,f(x + 1,y))
\end{array}$
Tìm f(4;2004)

$f(0;y)=y+1$ (1)

$f(x+1;0)=f(x;1)$ (2)

$f(x+1;y+1)=f(x;f(x+1;y))$ (3)

Cho $x=0$, từ (2) và (1) $\Rightarrow f(1;0)=f(0;1)=2$

Ta sẽ cm $f(1;n)=n+2$ (4) ($n\in \mathbb{N}$)

Với $n=0$, (4) đúng.

Giả sử (4) đúng khi $n=k$, tức là ta có $f(1;k)=k+2$ ($k\in \mathbb{N}$)

$f(1;k+1)=f(0;f(1;k))=f(0;k+2)=k+3=(k+1)+2$ $\Rightarrow$ (4) cũng đúng khi $n=k+1$ $\Rightarrow$ (4) đúng $\forall n\in \mathbb{N}$

$f(2;0)=f(1;1)=3=2.0+3$

Bằng quy nạp hoàn toàn tương tự, ta cm được $f(2;n)=2n+3$ (5)

$f(3;0)=f(2;1)=5=2^{0+3}-3$

$f(3;1)=f(2;f(3;0))=f(2;5)=13=2^{1+3}-3$

Ta sẽ cm $f(3;n)=2^{n+3}-3$ (6) với mọi $n\in \mathbb{N}$

Với $n=0$ và $n=1$, (6) đúng.

Giả sử (6) đúng khi $n=k$

$f(3;k+1)=f(2;f(3;k))=f(2;2^{k+3}-3)=2^{k+4}-3\Rightarrow$ (6) cũng đúng khi $n=k+1$ $\Rightarrow$ (6) đúng $\forall n\in \mathbb{N}$

$f(4;0)=f(3;1)=13=\underbrace{2^{2^{2}}}_{0+3\ cs\ 2}-3$

Ta sẽ cm $f(4;n)=\underbrace{2^{2^{2^{...^{2}}}}}_{n+3\ cs\ 2}-3$ (7)

Với $n=0$, (7) đúng.

Giả sử (7) đúng khi $n=k$

$f(4;k+1)=f(3;f(4;k))=f(3;\underbrace{2^{2^{...^{2}}}}_{k+3\ cs\ 2}-3)=\underbrace{2^{2^{...^{2}}}}_{k+4\ cs\ 2}-3$

$\Rightarrow$ (7) cũng đúng khi $n=k+1$ $\Rightarrow$ (7) đúng $\forall n\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow f(4;2004)=\underbrace{2^{2^{...^{2}}}}_{2007\ cs\ 2}-3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-11-2014 - 08:06